contrôle du 20 mai 2017

exercice 1

ABCDEFG est un cube. Le point I appartient à la face ABFE et le point J appartient à la face BCGF.

1. Construire le point M intersection de la droite (AB) et du plan (FIJ).

2. Construire l'intersection des plans (FIJ) et (ABC).

3. En déduire l'intersection P de la droite (IJ) et du plan (ABC).

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exercice 2

1. Calculer $E=\cos {\displaystyle \frac{\pi }{3}}\times \sin {\displaystyle \frac{\pi }{6}}-{\cos }^2\left({\displaystyle \frac{3\pi }{4}}\right)$.

2. Le pentagone ABCDE est inscrit dans le cercle trigonométrique 𝒞.

   1. Par enroulement de la droite réelle sur le cercle trigonométrique, à quels réels de l'intervalle $\left]-\pi ;\pi \right]$ sont associés les sommets de ce pentagone ?

   2. On donne $\sin {\displaystyle \frac{3\pi }{5}}={\displaystyle \frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}}$. Calculer la valeur exacte de $\cos {\displaystyle \frac{3\pi }{5}}$.

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exercice 3

Soit f la fonction polynôme du second degré définie pour tout réel x par $f\left(x\right)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2+3x-1$.

1. 1. Donner le tableau de variation de la fonction f.

   2. La proposition « Si $-4⩽x⩽4$ alors $-21⩽f\left(x\right)⩽3$ » est-elle vraie ou fausse ?

2. Soit a un réel.

   1. Exprimer en fonction du réel a, les expressions $f\left(3-a\right)$ et $f\left(3+a\right)$.

   2. Calculer $f\left(-2\right)$. En déduire les solutions de l'équation $f\left(x\right)=-9$.

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exercice 4

Soit f la fonction définie pour tout réel x de l'intervalle $\left]-4;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{3x+7}{x+4}}$.

1. 1. Vérifier que pour tout réel x de l'intervalle $\left]-4;+\infty \right[$, $f\left(x\right)=3-{\displaystyle \frac{5}{x+4}}$.

   2. Étudier les variations de la fonction f.

2. On note ${𝒞}_f$ la courbe représentative de la fonction f dans le plan muni d'un repère orthogonal.
   Calculer les coordonnées des points d'intersection de la courbe ${𝒞}_f$ avec les axes du repère.

3. Soit g la fonction affine définie pour tout réel x par $g\left(x\right)=x-\mathrm{3,5}$.
   On a tracé ci-dessous la courbe ${𝒞}_f$, tracer la courbe D représentative de la fonction g dans le même repère.

4. 1. Montrer que pour tout réel x de l'intervalle $\left]-4;+\infty \right[$ on a : $g\left(x\right)-f\left(x\right)={\displaystyle \frac{{\left(x-{\displaystyle \frac{5}{4}}\right)}^2-{\displaystyle \frac{361}{16}}}{x+4}}$.

   2. Étudier le signe de $g\left(x\right)-f\left(x\right)$.
      En déduire les positions relatives des courbes ${𝒞}_f$ et D.

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