sujet : amérique du nord

correction de l'exercice 1 : commun à tous les candidats

1. On suppose que le pourcentage de baisse est le même chaque année.
   Vérifier que ce pourcentage de baisse annuel est alors égal à environ 6,89 %.

   Soit t % le pourcentage annuel moyen de la baisse sur cinq ans.

   On a alors ${\left(1-{\displaystyle \frac{t}{100}}\right)}^5=1-\mathrm{0,3}$ avec $\left(1-{\displaystyle \frac{t}{100}}\right)>0$ .

   D'où $\left(1-{\displaystyle \frac{t}{100}}\right)={\left(\mathrm{0,7}\right)}^{{\displaystyle \frac{1}{5}}}$ Voir la propriété utilisée. a désignant un réel positif ou nul et n un entier supérieur ou égal à 2, $a^{{\displaystyle \frac{1}{n}}}$ est l'unique réel strictement positif tel que : ${\left(a^{{\displaystyle \frac{1}{n}}}\right)}^n=a$.

   Soit $t=\left[1-{\left(\mathrm{0,7}\right)}^{{\displaystyle \frac{1}{5}}}\right]\times 100$

   La calculatrice donne $t\approx \mathrm{6,885}$ arrondi au millième.

   Sur cinq ans, le pourcentage annuel moyen de la baisse d'impôt est d'environ 6,89%.

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2. La première année cet impôt baisse de 5%, la deuxième année la baisse est de 1% et la troisième année de 3%.

   1. Quelle est la baisse, en pourcentage, de cet impôt au terme de ces trois premières années ?

      Calculons le produit des coefficients multiplicateurs.

      $(1-{\displaystyle \frac{5}{100}})\times (1-{\displaystyle \frac{1}{100}})\times (1-{\displaystyle \frac{3}{100}})=\mathrm{0,95}\times \mathrm{0,99}\times \mathrm{0,97}=\mathrm{0,912285}$

      Or $\mathrm{0,912285}=1-\mathrm{0,087715}=1-{\displaystyle \frac{\mathrm{8,7715}}{100}}$

      Au terme de ces trois années, les impôts ont baissé d'environ 8,77%.

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   2. Pour atteindre son objectif, quel pourcentage annuel de baisse doit décider ce gouvernement, en supposant que ce pourcentage est le même sur les deux dernières années ?

      Soit t % le pourcentage annuel moyen de la baisse pour les deux dernières années.

      On a alors $\mathrm{0,912285}\times {\left(1-{\displaystyle \frac{t}{100}}\right)}^2=\mathrm{0,7}$ avec $\left(1-{\displaystyle \frac{t}{100}}\right)>0$.

      D'où $\left(1-{\displaystyle \frac{t}{100}}\right)={\left({\displaystyle \frac{\mathrm{0,7}}{\mathrm{0,912285}}}\right)}^{{\displaystyle \frac{1}{2}}}$

      Soit $t=\left[1-{\left({\displaystyle \frac{\mathrm{0,7}}{\mathrm{0,912285}}}\right)}^{{\displaystyle \frac{1}{2}}}\right]\times 100$

      La calculatrice donne $t\approx \mathrm{12,404}$ arrondi au millième.

      Pour les deux dernières années, la baisse d'impôt annuelle est d'environ 12,4% .

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