Baccalauréat juin 2005 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : amérique du nord

indications pour l'exercice 2 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Le tableau suivant donne l'évolution du chiffre d'affaires (C.A.), en millions d'euros, sur la période 1994-2003.

Année	1994	1997	1999	2001	2003
Rang $x_{i}$	1	4	6	8	10
C.A. $y_{i}$	176	209	284	380	508

Le nuage de points $M_{i} (x_{i}; y_{i})$ est représenté ci-dessous dans un repère orthogonal.
Un ajustement affine semble-t-il adapté ?
On pose $z_{i} = \ln y_{i}$ .
1. Calculer, en arrondissant à 10^-2 près, pour i variant de 1 à 5, les valeurs $z_{i}$ associées aux rangs $x_{i}$ du tableau.
2. Construire le nuage de points $N_{i} (x_{i}; z_{i})$ dans le repère orthogonal suivant :
  - sur l'axe des abscisses, on placera 0 à l'origine et on choisira 1 cm pour représenter 1 année
  - sur l'axe des ordonnées, on placera 5 à l'origine et on choisira 1 cm pour représenter le nombre 0,1.
1. Déterminer avec la calculatrice une équation de la droite d d'ajustement de z en x obtenue par la méthode des moindres carrés (coefficients arrondis à 10^-3 près) et tracer la droite d dans le repère précédent.
2. En déduire une relation entre y et x de la forme $y = A \times k^{x}$ . (Arrondir A à l'entier près et k à 10^-2 près.)
  
  $\ln y = a x + b$ d'où $e^{\ln y} = e^{a x + b}$
1. Tracer la droite d dans le même repère que celui du nuage de points $(N_{i})$ .
2. Donner une estimation, arrondie au millier d'euros, du chiffre d'affaires en 2005.
3. À partir de quelle année peut-on prévoir que le chiffre d'affaires sera supérieur à 1 milliard d'euros ?
  
  On cherche le plus petit entier naturel n tel que $A \times k^{n} > 1000$ .

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