sujet : amérique du nord

Corrigé de l'exercice 2 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

1. Le nuage de points $M_i\left(x_i;y_i\right)$ est représenté ci-dessous dans un repère orthogonal.
   Un ajustement affine semble-t-il adapté ?

   Dans le cadre du programme de terminale ES, la forme "allongée" du nuage de points incite à penser qu'un ajustement affine semble convenir. Cependant l'accroissement moyen annuel du chiffre d'affaires semble croissant.

   Calculons l'accroissement moyen annuel du chiffre d'affaires :

   Rang $x_i$	1	4	6	8	10
   C.A. $y_i$	176	209	284	380	508
   Accroissement moyen		${\displaystyle \frac{209-176}{4-1}}=11$	${\displaystyle \frac{284-209}{6-4}}=\mathrm{37,5}$	${\displaystyle \frac{380-284}{8-6}}=48$	${\displaystyle \frac{508-380}{10-8}}=64$

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   L'accroissement moyen annuel du chiffre d'affaires augmente, un ajustement affine ne semble pas adapté.

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2. On pose $z_i=\ln y_i$.

   1. Calculer, en arrondissant à 10 ^-2 près, pour i variant de 1 à 5, les valeurs $z_i$ associées aux rangs $x_i$ du tableau.

      Les différentes valeurs de z _i obtenues à l'aide de la calculatrice sont données dans le tableau ci-dessous.

      Rang $x_i$	1	4	6	8	10
      $z_i$	5,17	5,34	5,65	5,94	6,23

      ---

   2. Construire le nuage de points $N_i\left(x_i;z_i\right)$ dans le repère orthogonal suivant :

      • sur l'axe des abscisses, on placera 0 à l'origine et on choisira 1 cm pour représenter 1 année ;
      • sur l'axe des ordonnées, on placera 5 à l'origine et on choisira 1 cm pour représenter le nombre 0,1.

3. ---

   1. Déterminer avec la calculatrice une équation de la droite d d'ajustement de z en x obtenue par la méthode des moindres carrés (coefficients arrondis à 10^-3 près) et tracer la droite d dans le repère précédent.

      Une équation de la droite de régression de z en x, par la méthode des moindres carrés obtenue à l'aide de la calculatrice :

      $z=\mathrm{0,122}x+\mathrm{4,96}$. (coefficients arrondis à 10^-3près)

   2. En déduire une relation entre y et x de la forme $y=A\times k^x$ . (Arrondir A à l'entier près et k à 10^-2 près.)

      $z=\ln y$ d'où $\ln y=\mathrm{0,122}x+\mathrm{4,96}$

      Soit ${\mathrm{e}}^{\ln y}={\mathrm{e}}^{\mathrm{0,122}x+\mathrm{4,96}}\iff y={\mathrm{e}}^{\mathrm{0,122}x+\mathrm{4,96}}$

      Ainsi $y={\mathrm{e}}^{\mathrm{4,96}}\times {\left({\mathrm{e}}^{\mathrm{0,122}}\right)}^x$

      On pose $A={\mathrm{e}}^{\mathrm{4,96}}\approx 143$ (arrondi à l'entier près) et $k={\mathrm{e}}^{\mathrm{0,122}}\approx \mathrm{1,13}$ (arrondi à 10^-2 près).

      Alors une relation entre y et x en tenant compte des arrondis est: $y=143\times {\mathrm{1,13}}^x$

4. 1. Tracer la droite d dans le même repère que celui du nuage de points $\left(N_i\right)$.

      La droite d tracée dans la figure de la question précédente, passe les points de coordonnées $\left(5;\mathrm{5,57}\right)$ et $\left(10;\mathrm{6,18}\right)$ .

      À titre indicatif, la courbe d'équation $y=143\times {\mathrm{1,13}}^x$ a été représentée dans le même repère que celui du nuage de points $\left(M_i\right)$.

   2. Donner une estimation, arrondie au millier d'euros, du chiffre d'affaires en 2005.

      L'année 2005 correspond au rang 12, une estimation du chiffre d'affaires en 2005 est donc: $y=143\times {\mathrm{1,13}}^{12}\approx \mathrm{619,837}$.

      Une estimation, arrondie au millier d'euros, du chiffre d'affaires en 2005 est donc de 619 837 000 euros.

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   3. À partir de quelle année peut-on prévoir que le chiffre d'affaires sera supérieur à 1 milliard d'euros ?

      On cherche le plus petit entier naturel n tel que $143\times {\mathrm{1,13}}^n>1000\iff {\mathrm{1,13}}^n>{\displaystyle \frac{1000}{143}}$

      1,13 et ${\displaystyle \frac{1000}{143}}$ sont deux réels strictement positifs et la fonction ln est strictement croissante sur $\left]0;+\infty \right[$ Dire que la fonction ln est strictement croissante sur $\left]0;+\infty \right[$, signifie : pour tous réels $a>0$ et $b>0$, $a<b$ équivaut à $\ln a<\ln b$. alors, n est le plus petit entier tel que : $$\begin{array}{lll}\ln {\left(\mathrm{1,13}\right)}^n>\ln \left({\displaystyle \frac{1000}{143}}\right)& \iff & n\ln \left(\mathrm{1,13}\right)>\ln \left({\displaystyle \frac{1000}{143}}\right)\\ & \iff & n>{\displaystyle \frac{\ln \left({\displaystyle \frac{1000}{143}}\right)}{\ln \left(\mathrm{1,13}\right)}}\end{array}$$

      Comme ${\displaystyle \frac{\ln \left({\displaystyle \frac{1000}{143}}\right)}{\ln \left(\mathrm{1,13}\right)}}\approx \mathrm{15,91}$, le plus petit entier $n>{\displaystyle \frac{\ln \left({\displaystyle \frac{1000}{143}}\right)}{\ln \left(\mathrm{1,13}\right)}}$ est 16.

      C'est à partir de la 16^e année, soit en 2009 que le chiffre d'affaires sera supérieur à 1 milliard d'euros.

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