Baccalauréat juin 2005 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : amérique du nord

exercice 1 ( 3 points ) commun à tous les candidats

Les deux questions sont indépendantes. Les résultats seront arrondis à 10 -2.

Le gouvernement d'un pays envisage de baisser un impôt de 30% en cinq ans.

  1. On suppose que le pourcentage de baisse est le même chaque année.
    Vérifier que ce pourcentage de baisse annuel est alors égal à environ 6,89%.

  2. La première année cet impôt baisse de 5%, la deuxième année la baisse est de 1% et la troisième année de 3%.

    1. Quelle est la baisse, en pourcentage, de cet impôt au terme de ces trois premières années ?

    2. Pour atteindre son objectif, quel pourcentage annuel de baisse doit décider ce gouvernement, en supposant que ce pourcentage est le même sur les deux dernières années ?


Exercice 2 ( 5 POINTS ) candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Le tableau suivant donne l'évolution du chiffre d'affaires (C.A.), en millions d'euros, sur la période 1994-2003.

Année 1994 1997 1999 2001 2003
Rang xi 1 4 6 8 10
C.A. yi 176 209 284 380 508
  1. Le nuage de points Mixiyi est représenté ci-dessous dans un repère orthogonal.
    Un ajustement affine semble-t-il adapté ?

    Nuage de points : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  2. On pose zi=lnyi.

    1. Calculer, en arrondissant à 10 -2 près, pour i variant de 1 à 5, les valeurs zi associées aux rangs xi du tableau.

    2. Construire le nuage de points Nixizi dans le repère orthogonal suivant :

      • sur l'axe des abscisses, on placera 0 à l'origine et on choisira 1 cm pour représenter 1 année
      • sur l'axe des ordonnées, on placera 5 à l'origine et on choisira 1 cm pour représenter le nombre 0,1.
    1. Déterminer avec la calculatrice une équation de la droite d d'ajustement de z en x obtenue par la méthode des moindres carrés (coefficients arrondis à 10-3 près) et tracer la droite d dans le repère précédent.

    2. En déduire une relation entre y et x de la forme y=A×kx . (Arrondir A à l'entier près et k à 10-2 près.)

    1. Tracer la droite d dans le même repère que celui du nuage de points Ni.

    2. Donner une estimation, arrondie au millier d'euros, du chiffre d'affaires en 2005.

    3. À partir de quelle année peut-on prévoir que le chiffre d'affaires sera supérieur à 1 milliard d'euros ?


Exercice 2 ( 5 POINTS ) candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Courbes H1 et H2 : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

Les courbes : 1 et 2 représentées dans le repère orthonormal ci-dessus ont respectivement pour équation : y=1x et y=2x.

  1. Colorier les domaines 𝒟2 et 𝒟2 d'une couleur différente et montrer qu'ils ont la même aire.

    Soit n un entier naturel strictement positif. On note un l'aire du domaine 𝒟n délimité par les courbes 1 et 2 et les droites d'équation x=n et x=n+1.

  2. Exprimer un en fonction de n.

  3. Montrer que la suite un est décroissante. On pourra comparer les nombres n(n+2) et (n+1)2.

  4. Étudier la convergence de la suite un.

  5. Déterminer la plus grande valeur de n telle que l'aire du domaine 𝒟n reste supérieur à 110 d'unité d'aire. Soit N cette valeur.

  6. Calculer l'aire du domaine délimité par les courbes 1 et 2 et les droites d'équation x=1 et x=N.


exercice 3 ( 6 points ) commun à tous les candidats

Pour chacune des questions ci-dessous, une seule des réponses proposées est exacte.

L'exercice consiste à cocher cette réponse exacte sans justification.

BARÈME :

1) Soit une série statistique à deux variables xy. Les valeurs de x sont 1, 2, 5, 7, 11, 13 et une équation de la droite de régression de y en x par la méthode des moindres carrés est : y=1,35x+22,8
Les coordonnées du point moyen sont :

  • 6,530,575
  • 32,5756,5
  • 6,531,575

2) un est une suite arithmétique de raison -5.
Laquelle de ces affirmations est exacte ?

  • Pour tout entier n, un+1-un=5
  • u10= u2+40
  • u3= u7+20

3) L'égalité lnx2-1=lnx-1+lnx+1 est vraie,

  • Pour tout x de ]-;-1[]1;+[
  • Pour tout x de {1;1}
  • Pour tout x de ]1;+[

4) Pour tout réel x, le nombre e x-1 ex+2 est égal à :

  • -1 2
  • e -x-1 e-x+2
  • 1- e-x 1+2 e-x

5) On pose I=ln2ln31ex-1dx et J=ln2ln3exex-1dx, alors le nombre I-J est égal à :

  • ln23
  • ln32
  • 32

6) L'ensemble des solutions de l'inéquation (1- 2100) x0,5 est :

  • S=]-; ln(0,5) ln(0,98) [
  • S=[ ln(0,5) ln(0,98);+ [
  • S=[ln( 0,50,98);+ [

exercice 4 ( 6 points ) commun à tous les candidats

On a représenté ci-dessous la courbe représentative Γ, dans un repère orthonormal, d'une fonction f définie sur . La courbe Γ passe par les points A02 et C-20 et la droite (AB) est la tangente en A à Γ. La tangente à Γ en son point D d'abscisse –1 est parallèle à l'axe des abscisses.

Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  1. Parmi les trois représentations graphiques ci-dessous, une représente la fonction dérivée f de f et une autre représente une primitive F de f sur .

    Courbe 1 Courbe 2 Courbe 3
    Courbe 1 : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur. Courbe 2 : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur. Courbe 3 : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    Déterminer la courbe associée à la fonction f et celle qui est associée à la fonction F.
    Vous expliquerez avec soin les raisons de votre choix.

    1. Déterminer, à l'aide des renseignements fournis par l'énoncé, les valeurs de f0 et de f0 .

    2. On suppose que fx est de la forme fx=x+KeαxK et α sont des constantes réelles.

      Calculer fx , puis traduire les renseignements trouvés à la question précédente par un système d'équations d'inconnues K et α.

      En déduire que f est définie par fx=(x+2)e-x .

    1. Montrer que la fonction φ définie par φx=(-x-3)e-x est une primitive de f.

    2. En déduire la valeur de l'aire, exprimée en unités d'aire, de la surface hachurée.
      On donnera la valeur exacte puis la valeur arrondie au centième du résultat.



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