Baccalauréat juin 2005 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : amérique du nord

indications pour l'exercice 2 : candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Les courbes : $ℋ_{1}$ et $ℋ_{2}$ représentées dans le repère orthonormal ci-dessus ont respectivement pour équation : $y = \frac{1}{x}$ et $y = \frac{2}{x}$ .

On note $𝒟_{2}$ le domaine délimité par les courbes $ℋ_{1}$ , $ℋ_{2}$ , et les droites d'équation $x = 2$ et $x = 3$ .
On note ${𝒟'}_{2}$ le domaine délimité par l'axe des abscisses, la courbe $ℋ_{1}$ et les droites d'équation $x = 2$ et $x = 3$ .

Colorier les domaines $𝒟_{2}$ et ${𝒟'}_{2}$ d'une couleur différente et montrer qu'ils ont la même aire.

Exprimer les aires des domaines $𝒟_{2}$ et ${𝒟'}_{2}$ à l'aide d'intégrales.

Soit n un entier naturel strictement positif. On note $u_{n}$ l'aire du domaine $𝒟_{n}$ délimité par les courbes $ℋ_{1}$ et $ℋ_{2}$ et les droites d'équation $x = n$ et $x = n + 1$ .
Exprimer $u_{n}$ en fonction de n.

$\int_{n}^{n + 1} \frac{1}{x} d x = {[\ln x]}_{n}^{n + 1} =$
Montrer que la suite $(u_{n})$ est décroissante. On pourra comparer les nombres $n (n + 2)$ et ${(n + 1)}^{2}$ .

Deux possibilités :

– Utilisation de la définition :

Dire que la suite ${(u_{n})}_{n \in ℕ}$ est strictement décroissante signifie que pour tout entier n, $u_{n + 1} < u_{n}$ .

– Utilisation du théorème relatif au sens de variation d'une suite définie de manière explicite par $u_{n} = f (n)$ :

Soit f une fonction définie sur $[0; + \infty [$ et ${(u_{n})}_{n \in ℕ}$ la suite définie par $u_{n} = f (n)$ .
Si la fonction f est strictement décroissante sur $[0; + \infty [$ , alors la suite ${(u_{n})}_{n \in ℕ}$ est strictement décroissante.
Étudier la convergence de la suite $(u_{n})$ .

Théorème :

Soit f une fonction définie sur $[0; + \infty [$ et $(u_{n})$ la suite définie sur $ℕ$ par $u_{n} = f (n)$ .
Si la fonction f a une limite en $+ \infty$ , alors la suite $(u_{n})$ a une limite et, $\lim_{n \to + \infty} (u_{n}) = \lim_{x \to + \infty} f (x)$ .
Déterminer la plus grande valeur de n telle que l'aire du domaine $𝒟_{n}$ reste supérieur à $\frac{1}{10}$ d'unité d'aire. Soit N cette valeur.
Calculer l'aire du domaine délimité par les courbes $ℋ_{1}$ et $ℋ_{2}$ et les droites d'équation $x = 1$ et $x = N$ .

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