sujet : amérique du nord

Corrigé de l'exercice 2 : candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

1. Colorier les domaines ${𝒟}_2$ et ${𝒟\text{'}}_2$ d'une couleur différente et montrer qu'ils ont la même aire.

   Pour tout réel x strictement positif, ${\displaystyle \frac{1}{x}}>0$. Par conséquent, l'aire du domaine ${𝒟\prime }_2$, exprimée en unités d'aire est : ${\displaystyle {\int }_2^3{\displaystyle \frac{1}{x}}}\mathrm{d}x$ (Voir le théorème. Soit a et b deux réels tels que $a⩽b$, f une fonction définie et continue sur l'intervalle $\left[a;b\right]$ et $𝒞$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal $\left(\mathrm{O};\overrightarrow{𝚤},\overrightarrow{ȷ}\right)$ .
   Si, pour tout réel x de l'intervalle $\left[a;b\right]$,  $f\left(x\right)⩾0$, alors ${\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$ est l'aire, en unités d'aire, du domaine compris entre la courbe $𝒞$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=a$ et $x=b$. )

   D'autre part, pour tout réel x strictement positif, ${\displaystyle \frac{2}{x}}>{\displaystyle \frac{1}{x}}$. Par conséquent, l'aire du domaine ${𝒟}_2$ est égale à : $${\displaystyle {\int }_2^3\left({\displaystyle \frac{2}{x}}-{\displaystyle \frac{1}{x}}\right)\mathrm{d}x}={\displaystyle {\int }_2^3{\displaystyle \frac{1}{x}}\mathrm{d}x}$$

   Ainsi les domaines ${𝒟}_2$ et ${𝒟\prime }_2$ ont la même aire.

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2. Soit n un entier naturel strictement positif. On note $u_n$ l'aire du domaine ${𝒟}_n$ délimité par les courbes ${\mathscr{H}}_1$ et ${\mathscr{H}}_2$ et les droites d'équation $x=n$ et $x=n+1$.
   Exprimer $u_n$ en fonction de n.

   n est un entier naturel strictement positif, et comme pour tout réel x strictement positif, ${\displaystyle \frac{2}{x}}-{\displaystyle \frac{1}{x}}>0$, on en déduit que l'aire $u_n$ du domaine ${𝒟}_n$, exprimée en unités d'aire est : $$\begin{array}{ccccccccc}{u}_n& =& {\displaystyle {\int }_n^{n+1}\left({\displaystyle \frac{2}{x}}-{\displaystyle \frac{1}{x}}\right)\mathrm{d}x}& =& {\displaystyle {\int }_n^{n+1}{\displaystyle \frac{1}{x}}\mathrm{d}x}& =& \ln \left(n+1\right)-\ln \left(n\right)& =& \ln \left({\displaystyle \frac{n+1}{n}}\right)\end{array}$$

   Ainsi, pour tout entier naturel n strictement positif on a $u_n=\ln \left({\displaystyle \frac{n+1}{n}}\right)$.

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3. Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante. On pourra comparer les nombres $n\left(n+2\right)$ et ${\left(n+1\right)}^2$.

   La monotonie de la suite $\left(u_n\right)$ peut être étudiée de deux manières.

   1. méthode 1 : Utilisation de la définition. Dire que la suite ${\left(u_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ est strictement décroissante signifie que pour tout entier n, $u_{n+1}<u_n$.

      n étant un entier naturel strictement positif, étudions le signe de la différence $u_{n+1}-u_n$ : $$\begin{array}{ccccccc}{u}_{n+1}-u_n& =& \ln \left({\displaystyle \frac{n+2}{n+1}}\right)-\ln \left({\displaystyle \frac{n+1}{n}}\right)& =& \ln \left({\displaystyle \frac{n+2}{n+1}}\times {\displaystyle \frac{n}{n+1}}\right)& =& \ln \left({\displaystyle \frac{n\left(n+2\right)}{{\left(n+1\right)}^2}}\right)\end{array}$$

      Or pour tout entier n : $$\begin{array}{ccccccccc}{\displaystyle \frac{n\left(n+2\right)}{{\left(n+1\right)}^2}}& =& {\displaystyle \frac{n^2+2n}{{\left(n+1\right)}^2}}& =& {\displaystyle \frac{n^2+2n+1-1}{{\left(n+1\right)}^2}}& =& {\displaystyle \frac{{\left(n+1\right)}^2-1}{{\left(n+1\right)}^2}}& =& 1-{\displaystyle \frac{1}{{\left(n+1\right)}^2}}\end{array}$$

      Ainsi, pour tout entier n strictement positif $u_{n+1}-u_n=\ln \left(1-{\displaystyle \frac{1}{{\left(n+1\right)}^2}}\right)$.

      Comme pour tout entier n, on a $0<1-{\displaystyle \frac{1}{{\left(n+1\right)}^2}}<1$, on en déduit que $\ln \left(1-{\displaystyle \frac{1}{{\left(n+1\right)}^2}}\right)<0$.

      Ainsi pour tout entier n strictement positif, $u_{n+1}-u_n<0$, donc la suite $\left(u_n\right)$ est strictement décroissante.

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   2. méthode 2 : Suite définie de manière explicite par $u_n=f\left(n\right)$ théorème relatif au sens de variation. Soit f une fonction définie sur $\left[0;+\infty \right[$ et ${\left(u_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ la suite définie par $u_n=f\left(n\right)$.
      Si la fonction f est strictement décroissante sur $\left[0;+\infty \right[$, alors la suite ${\left(u_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ est strictement décroissante.

      La suite $\left(u_n\right)$ est définie pour tout entier n strictement positif par $u_n=\ln \left({\displaystyle \frac{n+1}{n}}\right)$. Étudions les variations de la fonction f définie sur $\left]0;+\infty \right[$ par :$$f\left(x\right)=\ln \left({\displaystyle \frac{x+1}{x}}\right)=\ln \left(1+{\displaystyle \frac{1}{x}}\right)$$

      $f=\ln \left(u\right)$ d'où $f\prime ={\displaystyle \frac{u\prime }{u}}$ avec pour tout réel x strictement positif, $u\left(x\right)=1+{\displaystyle \frac{1}{x}}$ et $u\prime \left(x\right)=-{\displaystyle \frac{1}{x^2}}$. Soit pour tout réel x strictement positif : $$\begin{array}{ccccc}f\prime \left(x\right)& =& {\displaystyle \frac{-{\displaystyle \frac{1}{x^2}}}{1+{\displaystyle \frac{1}{x}}}}& =& -{\displaystyle \frac{1}{x\left(1+x\right)}}\end{array}$$

      Or pour tout réel x strictement positif, $-{\displaystyle \frac{1}{x\left(1+x\right)}}<0$ d'où $f\prime \left(x\right)<0$ donc la fonction f est strictement décroissante.

      La fonction f définie pour tout réel x strictement positif par $f\left(x\right)=\ln \left({\displaystyle \frac{x+1}{x}}\right)$ est strictement décroissante donc la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel n strictement positif par $u_n=\ln \left({\displaystyle \frac{n+1}{n}}\right)$ est strictement décroissante.

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4. Étudier la convergence de la suite $\left(u_n\right)$.

   $\left(u_n\right)$ est la suite définie pour tout entier n strictement positif par : $$u_n=\ln \left({\displaystyle \frac{n+1}{n}}\right)=\ln \left(1+{\displaystyle \frac{1}{x}}\right)$$

   $\underset{n\to +\infty }{\lim }1+{\displaystyle \frac{1}{n}}=1$ et $\underset{X\to 1}{\lim }\ln X=0$ alors, $\underset{n\to +\infty }{\lim }\ln \left(1+{\displaystyle \frac{1}{n}}\right)=0$.

   $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=0$ donc la suite $\left(u_n\right)$ converge vers 0.

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5. Déterminer la plus grande valeur de n telle que l'aire du domaine ${𝒟}_n$ reste supérieur à ${\displaystyle \frac{1}{10}}$ d'unité d'aire. Soit N cette valeur.

   On cherche le plus gand entier n tel que : $$\begin{array}{lllllll}\ln \left(1+{\displaystyle \frac{1}{n}}\right)>{\displaystyle \frac{1}{10}}& \iff & 1+{\displaystyle \frac{1}{n}}>{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,1}}& \iff & {\displaystyle \frac{1}{n}}>{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,1}}-1& \iff & n<{\displaystyle \frac{1}{{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,1}}-1}}\end{array}$$

   Comme ${\displaystyle \frac{1}{{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,1}}-1}}\approx \mathrm{9,5}$, le plus grand entier $n<{\displaystyle \frac{1}{{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,1}}-1}}$ est 9.

   Ainsi, le plus grand entier tel que l'aire du domaine ${𝒟}_n$ reste supérieure à ${\displaystyle \frac{1}{10}}$ d'unité d'aire est $N=9$.

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6. Calculer l'aire du domaine délimité par les courbes ${\mathscr{H}}_1$ et ${\mathscr{H}}_2$ et les droites d'équation $x=1$ et $x=N$.

   L'aire du domaine délimité par les courbes ${\mathscr{H}}_1$ et ${\mathscr{H}}_2$ et les droites d'équation $x=1$ et $x=9$ est : $${\displaystyle {\int }_1^9({\displaystyle \frac{2}{x}}-{\displaystyle \frac{1}{x}})\mathrm{d}x}={\displaystyle {\int }_1^9{\displaystyle \frac{1}{x}}\mathrm{d}x}={\displaystyle {\left[\ln x\right]}_1^9}=\ln \left(9\right)-\ln \left(1\right)=\ln \left(9\right)$$

   L'aire du domaine délimité par les courbes ${\mathscr{H}}_1$ et ${\mathscr{H}}_2$ et les droites d'équation $x=1$ et $x=9$ est égale à $2\ln 3$ unités d'aire.

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