sujet : amérique du nord

correction de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

1. Parmi les trois représentations graphiques ci-dessous, une représente la fonction dérivée $f\prime$ de f et une autre représente une primitive F de f sur $ℝ$.
   Déterminer la courbe associée à la fonction $f\prime$ et celle qui est associée à la fonction F. Vous expliquerez avec soin les raisons de votre choix.

   Courbe 1	Courbe 2	Courbe 3

   • La fonction f est strictement croissante sur l'intervalle $\left]-\infty ;-1\right]$ donc sur cet intervalle, $f\prime \left(x\right)⩾0$

     La courbe 1 est la seule des trois courbes susceptible de représenter la dérivée de la fonction f.

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   • F est une primitive de la fonction f par conséquent, les variations de F se déduisent du signe de sa dérivée f

     x	$-\infty$		2		$+\infty$
     $f\left(x\right)$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+
     $F\left(x\right)$

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     La courbe 3 est la seule des trois courbes susceptible de représenter une primitive F de la fonction f.

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2. 1. Déterminer, à l'aide des renseignements fournis par l'énoncé, les valeurs de $f\left(0\right)$ et de $f\prime \left(0\right)$.

      La courbe Γ passe par le point $A\left(0;2\right)$, alors $f\left(0\right)=2$

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      la droite (AB) est la tangente en A à Γ, alors le coefficient directeur de la droite (AB) est égal à $f\prime \left(0\right)$. Soit $f\prime \left(0\right)=-1$

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   2. On suppose que $f\left(x\right)$ est de la forme $f\left(x\right)=\left(x+K\right){\mathrm{e}}^{\alpha x}$ où K et α sont des constantes réelles.
      Calculer $f\prime \left(x\right)$, puis traduire les renseignements trouvés à la question précédente par un système d'équations d'inconnues K et α. En déduire que f est définie par $f\left(x\right)=\left(x+2\right){\mathrm{e}}^{-x}$.

      f est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables. $f=u\times v$, d'où $f\prime =u\prime \times v+u\times v\prime$ avec pour tout réel x, $u\left(x\right)=x+K$ d'où $u\prime \left(x\right)=1$ et $v\left(x\right)={\mathrm{e}}^{\alpha x}$, d'où $v\prime \left(x\right)=\alpha {\mathrm{e}}^{\alpha x}$

      Soit pour tout réel x : $$f\prime \left(x\right)=1\times {\mathrm{e}}^{\alpha x}+\left(x+K\right)\times \alpha {\mathrm{e}}^{\alpha x}=\left(1+\alpha \left(x+K\right)\right)\times {\mathrm{e}}^{\alpha x}$$

      D'après la question précédente :

      • $f\left(0\right)=2$ d'où K et α sont solutions de l'équation $\left(0+K\right){\mathrm{e}}^0=2$. Soit $K=2$

      • D'autre part $f\prime \left(0\right)=-1$ alors K et α sont solutions de l'équation : $1+\alpha K=-1\iff \alpha K=-2$

      Ainsi K et α sont solutions du système d'équations :$$\begin{array}{ccc}\{\begin{array}{l}K=2\\ \alpha K=-2\end{array}& \iff & \{\begin{array}{l}K=2\\ \alpha =-1\end{array}\end{array}$$

      f est la fonction définie pour tout réel x par $f\left(x\right)=\left(x+2\right){\mathrm{e}}^{-x}$.

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3. 1. Montrer que la fonction φ définie par $\phi \left(x\right)=\left(-x-3\right){\mathrm{e}}^{-x}$ est une primitive de f.

      Dire que la fonction φ est une primitive de la fonction f signifie que pour tout réel x, $\phi \prime \left(x\right)=f\left(x\right)$.

      φ est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables. $\phi =u\times v$, d'où $\phi \prime =u\prime \times v+u\times v\prime$ avec pour tout réel x, $u\left(x\right)=-x-3$ d'où $u\prime \left(x\right)=-1$ et $v\left(x\right)={\mathrm{e}}^{-x}$, d'où $v\prime \left(x\right)=-{\mathrm{e}}^{-x}$

      Soit pour tout réel x : $$\phi \prime \left(x\right)=-{\mathrm{e}}^{-x}-\left(-x-3\right){\mathrm{e}}^{-x}=\left(x+2\right){\mathrm{e}}^{-x}$$

      Ainsi pour tout réel x, $\phi \prime \left(x\right)=f\left(x\right)$ donc la fonction φ définie pour tout réel x par $\phi \left(x\right)=\left(-x-3\right){\mathrm{e}}^{-x}$ est une primitive de f.

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   2. En déduire la valeur de l'aire, exprimée en unités d'aire, de la surface hachurée. On donnera la valeur exacte puis la valeur arrondie au centième du résultat.

      Pour tout réel x, ${\mathrm{e}}^{-x}>0$ donc $$\begin{array}{ccccc}\left(x+2\right){\mathrm{e}}^{-x}⩾0& \iff & x+2⩾0& \iff & x⩾-2\end{array}$$

      Sur l'intervalle $\left[-2;0\right]$, la courbe représentative de la fonction f est située au dessus de l'axe des abscisses, par conséquent l'aire du domaine hachuré, exprimée en unités d'aire est : $$\begin{array}{lll}{\displaystyle {\int }_{-2}^{0}f\left(x\right)\mathrm{d}x}& =& \phi \left(0\right)-\phi \left(-2\right)\\ & =& -3-\left(-{\mathrm{e}}^2\right)\end{array}$$

      L'aire de la surface hachurée est égale à ${\mathrm{e}}^2-3$ unités d'aire. Soit arrondie au centième, 4,39 unités d'aire.

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