Baccalauréat juin 2005 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet: asie

exercice 1 ( 3 points ) commun à tous les candidats

Pour chaque question, une seule réponse a, b, c ou d est exacte.
Indiquer sur la copie la réponse exacte.
Aucune justification n'est demandée.

Une bonne réponse rapporte 1 point. Une mauvaise réponse enlève 0,5 point.
L'absence de réponse n'apporte ni n'enlève, aucun point.
Si le total des points est négatif , la note globale attribuée à l'exercice est 0.

Les trois arbres donnés ci-dessous représentent des situations probabilistes. Les nombres indiqués sur les différentes flèches sont des probabilités, et en deuxième niveau, des probabilités conditionnelles. Ainsi pour l'arbre donné dans la question 1 : 0,35=p(A) et 0,1=pA(e) .

question 1

Arbre de probabilité : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

La probabilité de l'évènement E est égale à :

a. 0,5         b. 0,1         c. 0,6         d. 0,36

question 2

Arbre de probabilité : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

Les évènements A et G étant supposés indépendants, x est égal à :

a. 0,35         b. 0,1         c. 0,3        d. 0,36

question 3

Arbre de probabilité : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

Ici la situation probabiliste est associée à une expérience aléatoire schématisée par l'arbre ci-contre.
Cette expérience aléatoire est répétée quatre fois de façon indépendante.
La probabilité d'obtenir au moins une fois l'évènement A est égale à :

a. 0,35         b. 0,821 493 75        c. 0,178 506 25        d. 0,015 006 25


Exercice 2 ( 5 POINTS ) candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

partie a

Soit la fonction f définie pour tout x élément de l'intervalle 0+ par : fx=201+15e-0,4x

On admet que la fonction f est dérivable sur cet intervalle.

  1. Déterminer la limite de la fonction f en + ∞. Interpréter graphiquement le résultat.
  2. Démontrer que la fonction f est croissante sur l'intervalle 0+.

partie b

La fonction f modélise sur l'intervalle 014 la fonction coût total de production, en euro, d'un produit.

Sa représentation graphique sur cet intervalle, notée Γ, est donnée ci-dessous.

Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

Pour une quantité de produit q, exprimée en tonnes et comprise entre 0 et 14, on pose donc : fq=201+15e-0,4q

Pour tout q dans l'intervalle 014, le quotient fqq est appelé coût moyen de production de q tonnes de produit.

  1. Pour q dans l'intervalle 014, soit Q le point d'abscisse q de la représentation graphique (Γ) de la fonction f.
    Montrer que le coefficient directeur de la droite (OQ) est égal au coût moyen fqq.
  2. L'entreprise cherche à minimiser le coût moyen de production.
    Par lecture graphique indiquer la valeur de q qui réalise ce minimum et la valeur de ce minimum.

Exercice 2 ( 5 POINTS ) candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Pour fabriquer un alliage, une usine utilise deux métaux A et B en quantités x et y exprimées en tonnes. Le coût de production qui en résulte, exprimé en milliers d'euros, est donné par la formule :C(x;y)=2x+0,5y2+4

La figure 1 représente la surface d'équation z=C(x;y) pour0x20 et 0y12

Surface f(x;y) : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

La figure 2 représente les courbes de niveau de cette surface pour z variant de 20 en 20.

Courbes de niveau : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

Les parties A et B sont indépendantes.

partie A

Cette partie est un questionnaire à choix multiples constitué de deux questions, chacune comportant quatre propositions de réponse dont une seule est exacte.
Une bonne réponse rapportera 0,5 point.
Une mauvaise réponse sera pénalisée de 0,25 point.
Si le total des points de cette partie est négatif, la note attribuée sera 0.
Les réponses seront indiquées sur la copie. Aucune justification n'est demandée.

1. Lequel des points donnés ci-contre est un point de la surface d'équation z=C(x;y) ?

  1. M(13;9;60)
  2. N(12;4;40)
  3. R(12;8;60)
  4. S(15;4;40)

2. La courbe de niveau z=20 est :

  1. Une parabole
  2. Une droite
  3. Une hyperbole
  4. Autre réponse

PARTIE B

Les métaux A et B sont achetés respectivement 0,5 et 1 millier d'euros la tonne.

L'entreprise affecte 11 milliers d'euros à l'achat des métaux.

  1. Un exemple

    Si l'entreprise achète 4 tonnes de métal A, combien de tonnes de métal B achète-t-elle ?

  2. Cas général

    Soit x la quantité de métal A et y la quantité de métal B achetées : montrer que x et y sont liés par la relation x+2y=22.

    1. Tracer sur la figure 2 l'ensemble des points dont l'équation est x+2y=22.

    2. En déduire, graphiquement le coût minimum de production des alliages pour un investissement de 11 milliers d'euros et les quantités correspondantes des métaux A et B achetées.


exercice 3 ( 3 points ) commun à tous les candidats

La courbe 𝒞f est la représentation graphique d'une fonction f définie et dérivable sur l'intervalle [0;6].
La courbe 𝒞f est représentée ci-dessous.

Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

Soit A le point du plan de coordonnées -10 et B le point du plan de coordonnées 15.
Le point B appartient à la courbe 𝒞f.
La droite (AB) est la tangente à la courbe 𝒞f au point B.

  1. Déterminer f1 , où f est la fonction dérivée de la fonction f sur l'intervalle [0;6].
  2. L'une des trois courbes 𝒞1, 𝒞2 et 𝒞3 représentées sur les figures 1, 2 et 3 ci-dessous représente la fonction f. Laquelle ?
    Justifier votre réponse.
Figure 1 Figure 2 Figure 3
Courbe C1 : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur. Courbe C2 : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur. Courbe C3 : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

exercice 4 ( 9 points ) commun à tous les candidats

Le but de cet exercice est d'étudier l'évolution du prix d'une matière première.
On ne fera qu'un seul graphique qui sera complété tout au long des questions.

PARTIE A

Le tableau suivant donne le prix d'une tonne de matière première en milliers d'euros au 1er janvier de chaque année :

Année 1998 1999 2000 2001
Rang de l'année xi 0 1 2 3
Prix d'une tonne en milliers d'euro yi 6,48 5,74 5,19 5,01
  1. Sur la copie, représenter le nuage de points associé à la série statistique (xi;yi), le plan étant rapporté à un repère orthogonal (unités graphiques : 1 cm pour une année sur l'axe des abscisses, 2 cm pour un millier d'euros sur l'axe des ordonnées).

  2. Dans cette question, on envisage un ajustement affine pour modéliser l'évolution du prix de cette matière première.

    1. Déterminer une équation de la droite d'ajustement de y en x obtenue par la méthode des moindres carrés, et la tracer sur le graphique précédent (les calculs seront effectués à la calculatrice et les résultats seront donnés à 10-3 près).

    2. En supposant que cet ajustement affine reste valable pour les années suivantes, quel serait le prix d'une tonne de matière première au 1er janvier 2005 ?

partie b

En fait, à partir de l'année 2001, le prix d'une tonne de cette matière première commence à remonter, comme le montre le tableau suivant :

Année 2001 2002 2003 2004
Rang de l'année xi 3 4 5 6
Prix d'une tonne en milliers d'euro yi 5,01 5,10 5,20 5,52
  1. Placer sur le graphique de la partie A les points associés à ce deuxième tableau.

  2. On désire trouver une fonction qui modélise l'évolution de ce prix sur la période 1998–2008.
    Pour cela, on considère la fonction f définie pour tout x de l'intervalle 011 par : fx=x+10-5lnx+2.
    On admet que la fonction f est dérivable sur cet intervalle, et on notera f sa fonction dérivée.

    1. Donner un tableau de valeurs de la fonction f pour les valeurs de x entières comprises entre 0 et 11. Les valeurs de la fonction seront arrondies à 10-2.

    2. Calculer fx, puis étudier le sens de variation de la fonction f sur l'intervalle 011.
      Dresser son tableau de variations. Les valeurs des extremums seront données à 10-2 près.

    3. Tracer la courbe (𝒞) représentative de la fonction f sur le graphique de la partie A.

  3. On admet que la fonction f modélise l'évolution du prix de cette matière première sur la période 1998–2008.

    1. Selon ce modèle, quel serait le prix d'une tonne de matière première au 1er janvier 2005 ?

    2. Déterminer en quelle année le prix d'une tonne de matière première retrouvera sa valeur de 1998.



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