sujet : liban

Corrigé de l'exercice 2 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

partie A

1. Le nombre d'abonnés était de 2040 pour l'année 2000, de combien est-il pour l'année 2004?

   Année	2000	2004
   Indice $y_i$	100	200
   nombre abonnés $n_i$	2040	?

   Le nombre d'abonnés pour l'année 2004 est: ${\displaystyle \frac{2040\times 200}{100}}$

   Soit 4080 abonnés

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2. Quel est le pourcentage d'augmentation du nombre d'abonnés entre 2003 et 2004?

   La variation de l'indice entre 2003 et 2004 est de 200 - 160 = 40

   Soit un taux de variation de ${\displaystyle \frac{40}{160}}=\mathrm{0,25}$

   Par conséquent, le pourcentage d'augmentation du nombre d'abonnés entre 2003 et 2004 est de 25%.

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3. Quelle est l'équation de la droite de régression de y en x par la méthode des moindres carrés?

   Équation de la droite de régression de y en x, par la méthode des moindres carrés obtenue à l'aide de la calculatrice:

   $y=\mathrm{24,8}x+66$

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4. Quelles prévisions du nombre d'abonnés peut-on faire pour les années 2005 et 2010?
   On arrondira à l'entier le plus proche.

   • À l'année 2005 on associe un rang égal à 6 d'où un indice prévisible obtenu à partir de la droite de régression de :$\mathrm{24,8}\times 6+66=\mathrm{214,8}$

     Le nombre d'abonnés correspondant est: ${\displaystyle \frac{2040\times \mathrm{214,8}}{100}}=\mathrm{4381,92}$

     Ainsi en 2005 on peut prévoir 4382 abonnés .

     ---

   • À l'année 2010 on associe un rang égal à 11 d'où un indice prévisible obtenu à partir de la droite de régression de :$\mathrm{24,8}\times 11+66=\mathrm{338,8}$

     Le nombre d'abonnés correspondant est: ${\displaystyle \frac{2040\times \mathrm{338,8}}{100}}=\mathrm{6911,52}$

     Ainsi en 2010 on peut prévoir 6912 abonnés .

     ---

partie B

1. Recopier et compléter le tableau suivant. On donnera les valeurs arrondies à 10^-2.

   $x_i$	1	2	3	4	5
   $Y_i=\ln \left(y_i\right)$	4,61	4,72	4,87	5,08	5,30

2. Dans le plan muni d'un repère, construire le nuage de points de coordonnées $\left(x_i;Y_i\right)$ et la droite de régression de Y en x donnée par l'équation : $Y=\mathrm{0,17}x+\mathrm{4,39}$.

3. Exprimer le nombre d'abonnés $n_i$ en fonction du rang $x_i$ de l'année.

   Exprimons le nombre d'abonnés $n_i$ en fonction de l'indice $y_i$ de l'année.

   $n_i={\displaystyle \frac{2040\times y_i}{100}}=\mathrm{20,4}{y}_i$

   Exprimons l'indice $y_i$ en fonction du rang $x_i$ de l'année.

   $Y_i=\ln \left(y_i\right)\iff y_i={\mathrm{e}}^{Y_i}$

   Soit $y_i={\mathrm{e}}^{\mathrm{0,17}{x}_i+\mathrm{4,39}}$

   Ainsi $n_i=\mathrm{20,4}{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,17}{x}_i+\mathrm{4,39}}$.

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4. En déduire une nouvelle prévision du nombre d'abonnés pour les années 2005 et 2010.

   • En 2005:

     $n_6=\mathrm{20,4}{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,17}\times 6+\mathrm{4,39}}\approx 4562$

     Soit une prévision de 4562 abonnés en 2005

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   • En 2010:

     $n_{11}=\mathrm{20,4}{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,17}\times 11+\mathrm{4,39}}\approx 10674$

     Soit une prévision de 10674 abonnés en 2010.

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