Baccalauréat juin 2005 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : liban

exercice 1 ( 4 points ) commun à tous les candidats

Dans un repère orthonormal du plan Oıȷ d'unités graphiques 2 cm, la courbe (Γ) , tracée ci-dessous, est la représentation graphique d'une fonction g définie et dérivable sur l'intervalle 03,5.

Courbe Γ : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  1. Par lecture graphique, répondre aux questions suivantes :

    1. Quel est le tableau de variation de g sur 03,5 ?

    2. Quelles sont les valeurs de g0 et de g1 ?

    3. Quelles sont les coordonnées du point C ?

    4. Résoudre l'inéquation g(x)x sur 03,5.

  2. Définir la surface S par un système d'inéquations et déterminer graphiquement un encadrement de l'aire de S d'amplitude 2 cm2.

    Rappel : l'aire d'un trapèze est donnée par la formule : A=(B+b)×h2B et b sont les bases du trapèze et h sa hauteur.

  3. On suppose que l'une des trois courbes ci-dessous est la représentation graphique de la primitive de la fonction g s'annulant en 0. En justifiant l'élimination de deux courbes, indiquer celle qui est la représentation graphique de cette primitive.

    Courbe 1 Courbe 2 Courbe 3
    Courbe 1 : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur. Courbe 2 : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur. Courbe 3 : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

Exercice 2 ( 5 POINTS ) candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Un fournisseur d'accès à Internet, souhaite faire une prévision du nombre de ses abonnés pour l'année 2005, il établit un relevé du nombre des abonnés des années 2000 à 2004.

Il affecte l'indice 100 à l'année 2000 pour établir la statistique des abonnés et consigne les données dans le tableau et le graphique ci-dessous :

Année 2000 2001 2002 2003 2004
Rang xi 1 2 3 4 5
Indice yi 100 112 130 160 200

Nuage de points : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

partie A

  1. Le nombre d'abonnés était de 2040 pour l'année 2000, de combien est-il pour l'année 2004?

  2. Quel est le pourcentage d'augmentation du nombre d'abonnés entre 2003 et 2004?

  3. Quelle est l'équation de la droite de régression de y en x par la méthode des moindres carrés?

  4. Quelles prévisions du nombre d'abonnés peut-on faire pour les années 2005 et 2010?
    On arrondira à l'entier le plus proche.

partie B

Le fournisseur décide d'utiliser un changement de variable pour obtenir un autre ajustement, il crée un nouveau tableau en posant Y=ln( y )

  1. Recopier et compléter le tableau suivant. On donnera les valeurs arrondies à 10-2.

    xi 1 2 3 4 5
    Yi=lnyi
  2. Dans le plan muni d'un repère, construire le nuage de points de coordonnées xiYi et la droite de régression de Y en x donnée par l'équation : Y=0,17x+4,39 .

  3. Exprimer le nombre d'abonnés ni en fonction du rang xi de l'année.

  4. En déduire une nouvelle prévision du nombre d'abonnés pour les années 2005 et 2010.


Exercice 2 ( 5 POINTS ) candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Dans l'espace muni d'un repère orthonormal Oıȷk, on désigne par 𝒮 l'ensemble des points M(x;y;z) de l'espace tel que z=3xy. On dit 𝒮 est la surface d'équation z=3xy.

Une courbe de niveau de cote z0 est l'intersection d'un plan d'équation z=z0, parallèle au plan (xOy) avec la surface 𝒮. On définit de façon identique une courbe de niveau d'abscisse x0 et une courbe de niveau d'ordonnée y0.

  1. Soient les courbes de niveau d'abscisse 1, d'abscisse 32 et d'abscisse 2.

    Tracer les projections orthogonales de ces courbes de niveau dans le plan (yOz) sur la figure 1 du document réponse.

    1. Quelle est la nature des courbes de niveau d'abscisse constante ?

    2. Montrer que les courbes de niveau de cote constante non nulle sont des hyperboles.

  2. Sur la figure 2 sont représentées trois courbes 𝒞1, 𝒞2 et 𝒞3 représentant les projections orthogonales dans le plan (xOy) de trois courbes de niveau de cote constante k.

    courbes de niveau de cote constante : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    Figure 2

    Préciser, en le justifiant, la valeur de k associée à chaque courbe.

  3. Le point A' représenté sur la courbe 𝒞2 de la figure 2 est la projection orthogonale dans le plan (xOy) d'un point A(x;y;z), de la surface 𝒮.

    1. Déterminer les coordonnées du point A dans le repère Oıȷk.

    2. Préciser les coordonnées du point A'', projeté orthogonal de A dans le plan (yOz), puis placer ce point A'' sur la figure 1.

  4. Soit 𝒫 le plan d'équation 3x+6y-z-6=0.

    1. Montrer que le point A appartient au plan 𝒫.

    2. Montrer que le plan 𝒫 contient la courbe de niveau d'abscisse 2.

    3. Démontrer que l'intersection de la surface 𝒮 et du plan 𝒫 est la réunion de deux droites : la courbe de niveau d'abscisse 2 et une autre droite que l'on déterminera par un système d'équations cartésiennes.
      On pourra utiliser la factorisation x+2y-xy-2=(x-2)(1-y).


exercice 3 ( 5 points ) commun à tous les candidats

Tableau d'informations № 1
x - -1 12 2 +
Signe de ux + 0|| | 0|| +
Signe de ux | 0|| + | +

Le tableau d'informations № 1 ci-dessus fournit des informations sur une fonction u définie et dérivable sur .

  1. Etablir un tableau des variations de la fonction u.

    On considère maintenant les fonctions f et g définies par fx=ln(ux) et gx=euxu désigne la fonction de la question précédente.

    1. Une des deux affirmations suivantes est fausse, laquelle? Justifier en précisant le bon ensemble de définition :

      • Affirmation 1 : « La fonction f est définie sur »
      • Affirmation 2 : « La fonction g est définie sur »
    2. Donner les variations des fonctions f et g. Enoncer le(s) théorème(s) utilisé(s).

    3. Déterminer, en justifiant avec soin limx2x>2fx.

    4. Résoudre dans  l'équation gx=1.

  2. Voici d'autres informations relatives à la fonction u et à sa dérivée u'.

    Tableau d'informations № 2
    x -2 0 12 2 3
    ux 4 -2 -34 0 4
    ux -5 -1 0 3 5

    Terminer chacune des deux phrases a) et b) par la réponse qui vous semble exacte, parmi celles proposées dans les cadres ci-dessous, en justifiant votre choix.

    1. La tangente à la courbe représentative de la fonction g au point d'abscisse 2 est parallèle :

      • à l'axe des abscisses • à la droite d'équation y = x • à la droite d'équation y = 3x

    2. Le nombre f(-2) :

      • n'existe pas • vaut -20 • vaut -45 • vaut -54 • vaut 54

exercice 4 ( 6 points ) commun à tous les candidats

On propose aux élèves, Quentin, Nicolas et Lucien de répondre à un Q.C.M. comportant quatre questions dont voici le barème et les instructions :

Pour chaque question, une seule des quatre propositions A, B, C ou D est exacte. L'élève recopie sur sa feuille une grille de réponses présentée comme ci-dessous :

Question Réponse : A, B, C, D
1
2
3
4

Une bonne réponse rapporte 1 point ; une mauvaise réponse enlève 0,5 point. L'absence de réponse n'apporte ni n'enlève aucun point. Si le total de points est négatif, la note globale attribuée à l'exercice est 0.

Les trois candidats répondent correctement à la première question.

  1. Quentin choisit de ne pas répondre à la question № 2 et de donner une réponse à chacune des deux dernières questions, en choisissant au hasard et de façon équiprobable, l'une des 4 réponses proposées.

    1. Quelles notes peut-il obtenir à ce Q.C.M ?

    2. Combien de grilles différentes peut-il remplir ?

    3. Quelle probabilité a-t-il de ne faire aucune faute ?

    4. Quelle probabilité a-t-il de faire deux fautes ?

    5. Construire un tableau qui associe, à chaque total de points, sa probabilité.
      En déduire l'espérance mathématique de la note obtenue.

  2. Nicolas adopte la stratégie de donner une réponse à chacune des trois dernières questions en choisissant au hasard et de façon équiprobable l'une des quatre réponses proposées.

    1. Quelles notes peut-il obtenir à ce Q.C.M ?

    2. Combien de grilles différentes peut-il remplir ?

    3. Quelle probabilité a-t-il de ne faire aucune faute ?

    4. Quelle probabilité a-t-il de faire trois fautes ?

    5. Construire un tableau qui associe, à chaque total de points, sa probabilité.
      En déduire l'espérance mathématique de la note obtenue.

  3. Lucien choisit de ne répondre à aucune des trois dernières questions.

    Classer les stratégies de Quentin, Nicolas, Lucien.



Télécharger le sujet au format Word


Rechercher des exercices regoupés par thème


[ Accueil ]


Les documents présentés ne sont pas libres de droits. Vous pouvez les télécharger et diffuser (en indiquant la provenance) à condition de ne pas en faire un usage commercial.