sujet : liban

indications pour l'exercice 3 : commun à tous les candidats

Tableau d'informations № 1

x	$-\infty$		$-1$		${\displaystyle \frac{1}{2}}$		2		$+\infty$
Signe de $u\left(x\right)$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	–	$|$	–	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+
Signe de $u\prime \left(x\right)$		–	$|$	–	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+	$|$	+

Le tableau d'informations № 1 ci-dessus fournit des informations sur une fonction u définie et dérivable sur $ℝ$ .

1. Etablir un tableau des variations de la fonction u.

   Théorème.

   Si une fonction f définie sur un intervalle I admet en tout point de I une dérivée non négative (resp. non positive) elle est croissante (resp. décroissante).

   On considère maintenant les fonctions f et g définies par $f\left(x\right)=\ln \left(u\left(x\right)\right)$ et $g\left(x\right)={\mathrm{e}}^{u\left(x\right)}$ où u désigne la fonction de la question précédente.

2. 1. Une des deux affirmations suivantes est fausse, laquelle? Justifier en précisant le bon ensemble de définition :

      • Affirmation 1 : « La fonction f est définie sur $ℝ$ »
      • Affirmation 2 : « La fonction g est définie sur $ℝ$ »

      La fonction ln est définie pour $x>0$ , par conséquent la fonction composée f est définie pour $u\left(x\right)>0$.

      ---

   2. Donner les variations des fonctions f et g. Enoncer le(s) théorème(s) utilisé(s).

      Les variations des fonctions f et g peuvent être obtenues soit en étudiant le signe de la dérivée des fonctions composées, soit en utilisant le théorème sur les variations des fonctions composées.

      ---

   3. Déterminer, en justifiant avec soin $\underset{\underset{x>2}{x\to 2}}{\lim }f\left(x\right)$ .

      Théorème sur les limites des fonctions composées:

      a, b, $𝓁$ désignent soit un réel, soit – ∞, soit $+\infty$.
      u et v sont deux fonctions telles que la composée $f=v\circ u$ existe sur un intervalle contenant a ou de borne a.
      Si $\underset{x\to a}{\lim }u\left(x\right)=b$ et $\underset{x\to b}{\lim }v\left(x\right)=𝓁$ alors $\underset{x\to a}{\lim }v[u\left(x\right)]=𝓁$.

      ---

   4. Résoudre dans $ℝ$ l'équation $g\left(x\right)=1$ .

3. Voici d'autres informations relatives à la fonction u et à sa dérivée u'.

   Tableau d'informations № 2

   x	$-2$	0	${\displaystyle \frac{1}{2}}$	2	3
   $u\left(x\right)$	4	$-2$	$-{\displaystyle \frac{3}{4}}$	0	4
   $u\prime \left(x\right)$	$-5$	$-1$	0	3	5

   Terminer chacune des deux phrases a) et b) par la réponse qui vous semble exacte, parmi celles proposées dans les cadres ci-dessous, en justifiant votre choix.

   Théorème: Dérivée des fonctions composées.

   Soit u une fonction définie et dérivable sur un intervalle I, à valeurs dans un intervalle J, et v une fonction définie et dérivable sur J.
   La fonction $v\circ u$ est dérivable sur I et $(v\circ u)\prime =u\prime \times (v\prime \circ u)$ c'est à dire que:
   pour tout x de I, $(v\circ u)\prime \left(x\right)=u\prime \left(x\right)\times v\prime [u\left(x\right)]$.

   ---

   1. La tangente à la courbe représentative de la fonction g au point d'abscisse 2 est parallèle :

      • à l'axe des abscisses

      • à la droite d'équation y = x

      • à la droite d'équation y = 3x

   2. Le nombre $f\prime (-2)$ :

      • n'existe pas

      • vaut –20

      • vaut $-{\displaystyle \frac{4}{5}}$

      • vaut $-{\displaystyle \frac{5}{4}}$

      • vaut ${\displaystyle \frac{5}{4}}$

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