sujet : liban

indications pour l'exercice 4 : commun à tous les candidats

On propose aux élèves, Quentin, Nicolas et Lucien de répondre à un Q.C.M. comportant quatre questions dont voici le barème et les instructions :

Les trois candidats répondent correctement à la première question.

1. Quentin choisit de ne pas répondre à la question № 2 et de donner une réponse à chacune des deux dernières questions, en choisissant au hasard et de façon équiprobable, l'une des 4 réponses proposées.

   1. Quelles notes peut-il obtenir à ce Q.C.M ?

      • Si Quentin répond correctement aux deux dernières questions, la note obtenue est : …
      • Si Quentin répond correctement à l'une des deux dernières questions …
      • Si Quentin ne répond pas correctement aux deux dernières questions …

   2. Combien de grilles différentes peut-il remplir ?

      Il y a quatre réponses possibles à chaque question.

   3. Quelle probabilité a-t-il de ne faire aucune faute ?

      Pour la suite de cet exercice, la modélisation à l'aide d'une loi binomiale peut être utile.

      Notons:
      S l'événement "répondre correctement à la question posée"
      $\overline{S}$ l'événement contraire "ne pas répondre correctement à la question posée"

      Répondre à une question en choisissant au hasard et de façon équiprobable, l'une des 4 réponses proposées est une épreuve de Bernoulli.

      Répondre aux deux dernières questions en choisissant au hasard et de façon équiprobable, l'une des 4 réponses proposées est la répétition de deux épreuves de Bernoulli, identiques et indépendantes, la probabilité ${\displaystyle \frac{1}{4}}$ d'un succès restant la même à chaque épreuve.

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   4. Quelle probabilité a-t-il de faire deux fautes ?

   5. Construire un tableau qui associe, à chaque total de points, sa probabilité.
      En déduire l'espérance mathématique de la note obtenue.

      On peut donc construire la loi de probabilité qui associe, à chaque total de points, sa probabilité.

      Etant donné une loi de probabilité sur un ensemble fini de résultats numériques $x_i$ :

      $x_1$	$x_2$	…	$x_i$
      $p_1$	$p_2$	…	$p_i$

      L'espérance mathématique de cette loi est le nombre noté μ : $$\mu =x_1{p}_1+x_2{p}_2+\cdots +x_n{p}_n={\displaystyle \sum _{i=1}^n{x}_i{p}_i}$$.

2. Nicolas adopte la stratégie de donner une réponse à chacune des trois dernières questions en choisissant au hasard et de façon équiprobable l'une des quatre réponses proposées.

   1. Quelles notes peut-il obtenir à ce Q.C.M ?

   2. Combien de grilles différentes peut-il remplir ?

   3. Quelle probabilité a-t-il de ne faire aucune faute ?

   4. Quelle probabilité a-t-il de faire trois fautes ?

   5. Construire un tableau qui associe, à chaque total de points, sa probabilité.
      En déduire l'espérance mathématique de la note obtenue.

      Obtenir une seule réponse exacte, correspond aux trois issues $S\overline{S}\overline{S}$; $\overline{S}S\overline{S}$; $\overline{S}\overline{S}S$.
      La probabilité d'obtenir un succès est donc, $3\times p\left(S\right)\times {\left(p\left(\overline{S}\right)\right)}^2$.

3. Lucien choisit de ne répondre à aucune des trois dernières questions.

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