Baccalauréat juin 2005 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : liban

Corrigé de l'exercice 2 : candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Dans l'espace muni d'un repère orthonormal $(O; \vec{𝚤}, \vec{𝚥}, \vec{k})$ , on désigne par 𝒮 l'ensemble des points $M (x; y; z)$ de l'espace tel que $z = 3 x y$ . On dit 𝒮 est la surface d'équation $z = 3 x y$ .

Une courbe de niveau de cote $z_{0}$ est l'intersection d'un plan d'équation $z = z_{0}$ , parallèle au plan $(x O y)$ avec la surface 𝒮. On définit de façon identique une courbe de niveau d'abscisse $x_{0}$ et une courbe de niveau d'ordonnée $y_{0}$ .

Soient les courbes de niveau d'abscisse 1, d'abscisse $\frac{3}{2}$ et d'abscisse 2.
Tracer les projections orthogonales de ces courbes de niveau dans le plan $(y O z)$ sur la figure 1 du document réponse.

Figure 1

Une courbe de niveau d'abscisse $x_{0}$ est l'intersection d'un plan d'équation $x = x_{0}$ , parallèle au plan $(y O z)$ avec la surface 𝒮.
- Pour $x = 1$ , on a $z = 3 y$ dont la projection orthogonale dans le le plan $(y O z)$ est la droite d'équation $z = 3 y$
- Pour $x = \frac{3}{2}$ , on a $z = \frac{9}{2} y$ dont la projection orthogonale dans le le plan $(y O z)$ est la droite d'équation $z = 4,5 y$
- Pour $x = 2$ , on a $z = 6 y$ dont la projection orthogonale dans le le plan $(y O z)$ est la droite d'équation $z = 6 y$
Les trois droites sont représentées ci-contre.
1. Quelle est la nature des courbes de niveau d'abscisse constante?
  
  Soit a un réel. Les coordonnées des points de la courbe de niveau d'abscisse constante a vérifient: ${\begin{array}{l} x = a \\ z = 3 x y \end{array}$ .
  
  Donc dans le plan d'équation $x = a$ une équation de la courbe de niveau est: $z = 3 a y$ .
  
  On reconnaît l'expression d'une équation de droite dans un plan.
  
  Les courbes de niveau d'abscisse constante a sont les droites d'équation $z = 3 a y$ .
2. Montrer que les courbes de niveau de cote constante non nulle sont des hyperboles.
  
  Soit k un réel non nul. Les coordonnées des points de la courbe de niveau cote constante k vérifient: ${\begin{array}{l} z = k \\ z = 3 x y \end{array}$ .
  
  Donc dans le plan d'équation $z = k (k \neq 0)$ une équation de la courbe de niveau est: $k = 3 x y$ .
  
  Soit $y = \frac{k}{3 x}$ avec $x \neq 0$ et $y \neq 0$ . C'est l'expression d'une équation d'hyperbole dans un plan.
  
  Les courbes de niveau de cote constante non nulle k sont les hyperboles d'équation $y = \frac{k}{3 x}$ .
Sur la figure 2 sont représentées trois courbes $𝒞_{1}$ , $𝒞_{2}$ et $𝒞_{3}$ représentant les projections orthogonales dans le plan $(x O y)$ de trois courbes de niveau de cote constante k.

Figure 2

Préciser, en le justifiant, la valeur de k associée à chaque courbe.

D'après la question précédente les coordonnées des points $M (x; y)$ de la courbe de niveau cote constante k vérifient la relation $k = 3 x y$ .
- La courbe $𝒞_{1}$ passe par le point de coordonnées (1;1) donc $k = 3 \times 1 \times 1$ .
  
  $𝒞_{1}$ est la projection orthogonale dans le plan $(x O y)$ de la courbe de niveau de cote 3.
- La courbe $𝒞_{2}$ passe par le point de coordonnées (1;2) donc $k = 3 \times 1 \times 2$ .
  
  $𝒞_{2}$ est la projection orthogonale dans le plan $(x O y)$ de la courbe de niveau de cote 6.
- La courbe $𝒞_{3}$ passe par le point de coordonnées (1;3) donc $k = 3 \times 1 \times 3$ .
  
  $𝒞_{3}$ est la projection orthogonale dans le plan $(x O y)$ de la courbe de niveau de cote 9.
Le point A' représenté sur la courbe $𝒞_{2}$ de la figure 2 est la projection orthogonale dans le plan $(x O y)$ d'un point $A (x; y; z)$ , de la surface 𝒮.
1. Déterminer les coordonnées du point A dans le repère $(O; \vec{𝚤}, \vec{𝚥}, \vec{k})$ .
  
  Le point A' est la projection orthogonale dans le plan $(x O y)$ d'un point $A (x; y; z)$ , or les coordonnées du point A' dans le repère $(O, \vec{𝚤}, \vec{ȷ})$ sont $A' (2; 1)$ d'où, le point A a pour coordonnées $A (2; 1; z)$ .
  
  D'autre part, le point A' est un point la courbe $𝒞_{2}$ , projection orthogonale dans le plan $(x O y)$ de la courbe de niveau de cote 6 d'où $z = 6$ .
  
  Ainsi, le point A a pour coordonnées $A (2; 1; 6)$ dans le repère $(O; \vec{𝚤}, \vec{𝚥}, \vec{k})$ .
2. Préciser les coordonnées du point A'', projeté orthogonal de A dans le plan $(y O z)$ , puis placer ce point A'' sur la figure 1.
  
  Le point $A'' (y; z)$ est le projeté orthogonal du point $A (2; 1; 6)$ dans le plan $(y O z)$ , donc :
  
  A'' est un point de la courbe de niveau d'abscisse 2. Ses coordonnées dans le repère $(O, \vec{ȷ}, \vec{k})$ sont $A'' (1; 6)$ .
  
  Figure 1
Soit 𝒫 le plan d'équation $3 x + 6 y - z - 6 = 0$ .
1. Montrer que le point A appartient au plan 𝒫.
  
  Le point A a pour coordonnées $A (2; 1; 6)$ dans le repère $(O; \vec{𝚤}, \vec{𝚥}, \vec{k})$ , or $3 \times 2 + 6 \times 1 - 6 - 6 = 0$ .
  
  Les coordonnées du point A vérifient l'équation du plan 𝒫, alors le point A appartient au plan 𝒫.
2. Montrer que le plan 𝒫 contient la courbe de niveau d'abscisse 2.
  
  Soit $M (2; y; z)$ avec $z = 6 y$ un point de la courbe de niveau d'abscisse 2.
  
  Or, $3 \times 2 + 6 y - 6 y - 6 = 0$ .
  
  Ainsi, les coordonnées d'un point M de la courbe de niveau d'abscisse 2 vérifient l'équation du plan 𝒫, donc le point M appartient au plan 𝒫.
  
  Le plan 𝒫 contient la courbe de niveau d'abscisse 2.
3. Démontrer que l'intersection de la surface 𝒮 et du plan 𝒫 est la réunion de deux droites: la courbe de niveau d'abscisse 2 et une autre droite que l'on déterminera par un système d'équations cartésiennes.
  On pourra utiliser la factorisation $x + 2 y - x y - 2 = (x - 2) (1 - y)$ .
  
  Dire que $M (x; y; z)$ est un point de l'intersection de la surface 𝒮 et du plan 𝒫 équivaut à : $\begin{array}{rcl} {\begin{cases} z = 3 x y \\ 3 x + 6 y - z - 6 = 0 \end{cases} & \Leftrightarrow & {\begin{cases} z = 3 x y \\ 3 x + 6 y - 3 x y - 6 = 0 \end{cases} \\ \Leftrightarrow & {\begin{cases} z = 3 x y \\ x + 2 y - x y - 2 = 0 \end{cases} \\ \Leftrightarrow & {\begin{cases} z = 3 x y \\ (x - 2) - y (x - 2) = 0 \end{cases} \\ \Leftrightarrow & {\begin{cases} z = 3 x y \\ (x - 2) (1 - y) = 0 \end{cases} \end{array}$
  
  Soit $({\begin{array}{l} z = 3 x y \\ x - 2 = 0 \end{array} ou {\begin{array}{l} z = 3 x y \\ 1 - y = 0 \end{array}) \Leftrightarrow ({\begin{array}{l} z = 6 y \\ x = 2 \end{array} ou {\begin{array}{l} z = 3 x \\ y = 1 \end{array})$ .
  
  L'intersection de la surface 𝒮 et du plan 𝒫 est la réunion de deux droites la courbe de niveau d'abscisse 2 d'équation ${\begin{array}{l} z = 6 y \\ x = 2 \end{array}$ et la courbe de niveau d'ordonnée 1 d'équation ${\begin{array}{l} z = 3 x \\ y = 1 \end{array}$

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