sujet : liban

correction de l'exercice 3 : commun à tous les candidats

1. Etablir un tableau des variations de la fonction u.

   L'étude du signe de la dérivée u' nous renseigne sur les variations de la fonction u . (Voir le théorème).Si une fonction f définie sur un intervalle I admet en tout point de I une dérivée non négative (resp. non positive) elle est croissante (resp. décroissante).

   • Sur l'intervalle $\left]-\infty ;{\displaystyle \frac{1}{2}}\right]$ :
     $u\text{'}\left(x\right)<0$ ( sauf pour $x={\displaystyle \frac{1}{2}}$ ) alors, la fonction u est strictement décroissante sur cet intervalle.

   • Sur l'intervalle $\left[{\displaystyle \frac{1}{2}};+\infty \right[$ :
     $u\text{'}\left(x\right)>0$ ( sauf pour $x={\displaystyle \frac{1}{2}}$ ) alors, la fonction u est strictement croissante sur cet intervalle.

   On obtient donc le tableau de variation de u :

   x	$-\infty$		${\displaystyle \frac{1}{2}}$		$+\infty$
   Signe de $u\prime$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+
   variations de u

2. On considère maintenant les fonctions f et g définies par $f\left(x\right)=\ln \left(u\left(x\right)\right)$ et $g\left(x\right)={\mathrm{e}}^{u\left(x\right)}$ où u désigne la fonction de la question précédente.

   1. Une des deux affirmations suivantes est fausse, laquelle? Justifier en précisant le bon ensemble de définition

      • Affirmation 1 : « La fonction f est définie sur $ℝ$ »
      • Affirmation 2 : « La fonction g est définie sur $ℝ$ »

      La fonction ln est définie pour $x>0$ , par conséquent la fonction composée f est définie pour $u\left(x\right)>0$ soit pour $x\in ]-\infty ;-1[\cup ]2;+\infty [$ .

      La fonction exponentielle est définie sur $ℝ$ et la fonction u est définie sur $ℝ$ , alors la fonction composée g est également définie est définie sur $ℝ$ .

      Ainsi, l'affirmation 1 est fausse.

      ---

   2. Donner les variations des fonctions f et g. Enoncer le(s) théorème(s) utilisé(s).

      Les variations des fonctions f et g peuvent être obtenues soit en étudiant le signe de la dérivée des fonctions composées( par exemple dans le cas de la fonction f ) , soit en utilisant le théorème sur les variations des fonctions composées ( par exemple dans le cas de la fonction g ).

      • Étude des variations de la fonction f

        Théorème: Dérivée des fonctions composées.

        Soit u une fonction définie et dérivable sur un intervalle I, à valeurs dans un intervalle J, et v une fonction définie et dérivable sur J.
        La fonction $v\circ u$ est dérivable sur I et $(v\circ u)\prime =u\prime \times (v\prime \circ u)$ c'est à dire que:
        pour tout x de I, $(v\circ u)\prime \left(x\right)=u\prime \left(x\right)\times v\prime [u\left(x\right)]$

        Sur chacun des intervalles $]-\infty ;-1[$ ou $]2;+\infty [$ la fonction u est dérivable et strictement positive alors la fonction composée $f=\ln \left(u\right)$ est dérivable et sa dérivée est $f\prime \left(x\right)=u\prime \left(x\right)\times {\displaystyle \frac{1}{u\left(x\right)}}={\displaystyle \frac{u\prime \left(x\right)}{u\left(x\right)}}$ .

        Les informations fournies par le tableau 1, nous permettent de déterminer le signe de la dérivée f ' et d'en déduire les variations de la fonction f.

        Pour tout $x\in ]-\infty ;-1[$, $f\prime \left(x\right)<0$ d'où f est décroissante sur cet intervalle.

        Pour tout $x\in ]2;+\infty [$, $f\prime \left(x\right)>0$ d'où f est croissante sur cet intervalle.

        On obtient donc le tableau de variation de f :

        x	$-\infty$		$-1$			2			$+\infty$
        Signe de $f\prime$		−						+
        variations de f

      • Étude des variations de la fonction g

        Théorème: Variation des fonctions composées.

        Soit u une fonction définie et strictement monotone sur un intervalle I , à valeurs dans un intervalle J, et v une fonction définie et strictement monotone sur J.

        • Si u et v ont le même sens de variation (u sur I et v sur J), alors la fonction composée $v\circ u$ est strictement croissante sur I.
        • Si u et v ont des sens de variation différents (u sur I et v sur J), alors alors la fonction composée $v\circ u$ est strictement décroissante sur I.

        La fonction u est définie et dérivable sur $ℝ$ . Les variations de la fonction u (question 1) nous conduisent à considérer deux intervalles pour l'étude de la fonction composée g.

        Sur l'intervalle $\left]-\infty ;{\displaystyle \frac{1}{2}}\right]$ la fonction u est strictement décroissante à valeurs dans $ℝ$ . Or la fonction exponentielle est strictement croissante sur $ℝ$ , d'où la fonction la fonction composée $g={\mathrm{e}}^u$ est strictement décroissante sur cet intervalle.

        Sur l'intervalle $\left[{\displaystyle \frac{1}{2}};+\infty \right[$ la fonction u est strictement croissante à valeurs dans $ℝ$ . Or la fonction exponentielle est strictement croissante sur $ℝ$ , d'où la fonction la fonction composée $g={\mathrm{e}}^u$ est strictement croissante sur cet intervalle.

        Ainsi la fonction g a les mêmes variations que la fonction u.

      ---

   3. Déterminer, en justifiant avec soin $\underset{\underset{x>2}{x\to 2}}{\lim }f\left(x\right)$ .

      D'après le tableau № 1 $\underset{\underset{x>2}{x\to 2}}{\lim }u\left(x\right)=0^{+}$ or $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\ln \left(x\right)=-\infty$ . Donc d'après le théorème sur les limites des fonctions composées:a, b, $𝓁$ désignent soit un réel, soit – ∞, soit $+\infty$.
      u et v sont deux fonctions telles que la composée $f=v\circ u$ existe sur un intervalle contenant a ou de borne a.
      Si $\underset{x\to a}{\lim }u\left(x\right)=b$ et $\underset{x\to b}{\lim }v\left(x\right)=𝓁$ alors $\underset{x\to a}{\lim }v[u\left(x\right)]=𝓁$.

      $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }f\left(x\right)=-\infty$.

      ---

   4. Résoudre dans $ℝ$ l'équation $g\left(x\right)=1$ .

      $g\left(x\right)=1\iff {\mathrm{e}}^{u\left(x\right)}=1\iff u\left(x\right)=0$

      Donc d'après le tableau № 1,  l'équation $g\left(x\right)=1$ admet deux solutions, x = – 1 ou x = 2.

      ---

3. Voici d'autres informations relatives à la fonction u et à sa dérivée u'.

   Tableau d'informations № 2

   x	$-2$	0	${\displaystyle \frac{1}{2}}$	2	3
   $u\left(x\right)$	4	$-2$	$-{\displaystyle \frac{3}{4}}$	0	4
   $u\prime \left(x\right)$	$-5$	$-1$	0	3	5

   Terminer chacune des deux phrases a) et b) par la réponse qui vous semble exacte, parmi celles proposées dans les cadres ci-dessous, en justifiant votre choix.

   1. La tangente à la courbe représentative de la fonction g au point d'abscisse 2 est parallèle :

      • à l'axe des abscisses

      • à la droite d'équation y = x

      • à la droite d'équation y = 3x

      La fonction u étant dérivable sur $ℝ$ , on peut appliquer le théorème de dérivation d'une fonction composée à la fonction composée $\exp \circ u$ :Soit u une fonction définie et dérivable sur un intervalle I.
      La fonction ${\mathrm{e}}^u$ est dérivable sur I et sa dérivée est $\left({\mathrm{e}}^u\right)\prime =u\prime \times \left({\mathrm{e}}^u\right)$

      Soit pour tout réel x, $g\prime \left(x\right)=u\prime \left(x\right)\times {\mathrm{e}}^{u\left(x\right)}$

      D'où $g\prime \left(2\right)=u\prime \left(2\right)\times {\mathrm{e}}^{u\left(2\right)}=3\times {\mathrm{e}}^0=3$ .

      Ainsi, la tangente à la courbe représentative de la fonction g au point d'abscisse 2 a un coefficient directeur égal à 3.

      Donc la tangente à la courbe représentative de la fonction g au point d'abscisse 2 est parallèle à la droite d'équation y = 3x.

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   2. Le nombre $f\prime (-2)$ :

      • n'existe pas

      • vaut –20

      • vaut $-{\displaystyle \frac{4}{5}}$

      • vaut $-{\displaystyle \frac{5}{4}}$

      • vaut ${\displaystyle \frac{5}{4}}$

      Pour tout réel $x\in ]-\infty ;-1[$ la fonction u est dérivable et strictement positive alors la fonction composée $f=\ln \left(u\right)$ est dérivable et sa dérivée est $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{u\prime \left(x\right)}{u\left(x\right)}}$ .

      Soit $f\prime (-2)={\displaystyle \frac{u\prime (-2)}{u(-2)}}={\displaystyle \frac{-5}{4}}$ .

      Donc le nombre $f\prime (-2)$ vaut $-{\displaystyle \frac{5}{4}}$ .

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