On propose aux élèves, Quentin, Nicolas et Lucien de répondre à un Q.C.M. comportant quatre questions dont voici le barème et les instructions :
Pour chaque question, une seule des quatre propositions A, B, C ou D est exacte. L'élève recopie sur sa feuille une grille de réponses présentée comme ci-dessous :
Question | Réponse : A, B, C, D |
1 | |
2 | |
3 | |
4 |
Une bonne réponse rapporte 1 point ; une mauvaise réponse enlève 0,5 point. L'absence de réponse n'apporte ni n'enlève aucun point. Si le total de points est négatif, la note globale attribuée à l'exercice est 0.
Les trois candidats répondent correctement à la première question.
Quentin choisit de ne pas répondre à la question № 2 et de donner une réponse à chacune des deux dernières questions, en choisissant au hasard et de façon équiprobable, l'une des 4 réponses proposées.
Quelles notes peut-il obtenir à ce Q.C.M ?
Quentin a répondu correctement à la première question et ne répond pas à la deuxième. Soit N la note que peut obtenir Quentin :
Les notes que Quentin peut obtenir à ce Q.C.M sont : 0; 1,5 ou 3.
Combien de grilles différentes peut-il remplir ?
Il y a quatre réponses possibles pour la troisième question et, à chacune des réponses données, on peut associer quatre réponses possibles pour la quatrième question. D'où un nombre de grilles possibles égal à
A | B | C | D | |
---|---|---|---|---|
A | AA | AB | AC | AD |
B | BA | BB | BC | BD |
C | CA | CB | CC | CD |
D | DA | DB | DC | DD |
Quentin peut remplir seize grilles différentes.
Quelle probabilité a-t-il de ne faire aucune faute ?
Répondre à une question en choisissant au hasard et de façon équiprobable, l'une des 4 réponses proposées est une épreuve de Bernoulli dont la probabilité du succès est .
Répondre aux deux dernières questions en choisissant au hasard et de façon équiprobable, l'une des 4 réponses proposées est la répétition de deux épreuves de Bernoulli, identiques et indépendantes. La loi de probabilité associée au nombre X de réponses exactes est la loi binomiale de paramètres et .
La probabilité d'obtenir deux succès consécutifs est :
La probabilité que Quentin ne fasse aucune faute est égale à .
Quelle probabilité a-t-il de faire deux fautes ?
La probabilité d'obtenir deux échecs consécutifs est :
La probabilité que Quentin fasse deux erreurs est égale à .
Construire un tableau qui associe, à chaque total de points, sa probabilité. En déduire l'espérance mathématique de la note obtenue.
Tableau de la loi binomiale de paramètres 2 et :
nombre k de réponses exactes | 0 | 1 | 2 |
On en déduit la loi de probabilité de la note obtenue par Quentin.
note n | 0 | 1,5 | 3 |
L'espérance mathématique notée de cette loi est : (Voir la définition.) Soit P une loi de probabilité sur un ensemble fini de résultats numériques . L'espérance mathématique de cette loi est le nombre réel μ :
L'espérance mathématique de la note obtenue par Quentin est égale à 0,75.
Nicolas adopte la stratégie de donner une réponse à chacune des trois dernières questions en choisissant au hasard et de façon équiprobable l'une des quatre réponses proposées.
Quelles notes peut-il obtenir à ce Q.C.M ?
Le nombre de réponses exactes de Nicolas aux trois dernières questions peut être de 0, 1, 2 ou 3. Sachant que si le total de points est négatif, la note globale attribuée à l'exercice est 0, le total des points que Nicolas peut obtenir est respectivement 0 ; 1; 2,5 ou 4.
Les notes que Nicolas peut obtenir sont: 0 ; 1; 2,5 ou 4.
Combien de grilles différentes peut-il remplir ?
Comme dans la question précédente le nombre de réponses possibles à chaque question est de quatre. D'où un nombre de grilles égal à .
Nicolas peut remplir 64 grilles différentes.
Quelle probabilité a-t-il de ne faire aucune faute ?
Répondre aux trois dernières questions en choisissant au hasard et de façon équiprobable, l'une des 4 réponses proposées est ici la répétition de trois épreuves de Bernoulli, identiques et indépendantes. La loi de probabilité associée au nombre X de réponses exactes est la loi binomiale de paramètres et .
La probabilité d'obtenir trois succès consécutifs est :
La probabilité que Nicolas ne fasse aucune faute est égale à .
Quelle probabilité a-t-il de faire trois fautes ?
La probabilité d'obtenir trois échecs consécutifs est :
La probabilité que Nicolas fasse trois fautes est égale à .
Construire un tableau qui associe, à chaque total de points, sa probabilité.
En déduire l'espérance mathématique de la note obtenue.
Tableau de la loi binomiale de paramètres 3 et :
nombre k de réponses exactes | 0 | 1 | 2 | 3 |
On en déduit la loi de probabilité de la note obtenue par Nicolas.
note n | 0 | 1 | 2,5 | 4 |
L'espérance mathématique notée de cette loi est :
L'espérance mathématique de la note obtenue par Nicolas est 0,836 (arrondi à 10-3).
Lucien choisit de ne répondre à aucune des trois dernières questions. Classer les stratégies de Quentin, Nicolas, Lucien.
La note de Lucien est égale à 1.
D'où le classement des stratégies par ordre décroissant d'espérance mathématique de note obtenue : 1. Stratégie de Lucien ; 2. stratégie de Nicolas ; 3. stratégie de Quentin.
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