Baccalauréat juin 2005 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : liban

correction de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

On propose aux élèves, Quentin, Nicolas et Lucien de répondre à un Q.C.M. comportant quatre questions dont voici le barème et les instructions :

Pour chaque question, une seule des quatre propositions A, B, C ou D est exacte. L'élève recopie sur sa feuille une grille de réponses présentée comme ci-dessous :

Question Réponse : A, B, C, D
1
2
3
4

Une bonne réponse rapporte 1 point ; une mauvaise réponse enlève 0,5 point. L'absence de réponse n'apporte ni n'enlève aucun point. Si le total de points est négatif, la note globale attribuée à l'exercice est 0.

Les trois candidats répondent correctement à la première question.

  1. Quentin choisit de ne pas répondre à la question № 2 et de donner une réponse à chacune des deux dernières questions, en choisissant au hasard et de façon équiprobable, l'une des 4 réponses proposées.

    1. Quelles notes peut-il obtenir à ce Q.C.M ?

      Quentin a répondu correctement à la première question et ne répond pas à la deuxième. Soit N la note que peut obtenir Quentin :

      • Si Quentin répond correctement aux deux dernières questions, la note obtenue est N=1+0+1+1=3
      • Si Quentin répond correctement à l'une des deux dernières questions, la note obtenue est N=1+0+1-0,5=1,5.
      • Si Quentin ne répond pas correctement aux deux dernières questions, la note obtenue est N=1+0-0,5-0,5=0.

      Les notes que Quentin peut obtenir à ce Q.C.M sont : 0; 1,5 ou 3.


    2. Combien de grilles différentes peut-il remplir ?

      Il y a quatre réponses possibles pour la troisième question et, à chacune des réponses données, on peut associer quatre réponses possibles pour la quatrième question. D'où un nombre de grilles possibles égal à 4×4=16

      réponses possibles
      A B C D
      A AA AB AC AD
      B BA BB BC BD
      C CA CB CC CD
      D DA DB DC DD

      Quentin peut remplir seize grilles différentes.


    3. Quelle probabilité a-t-il de ne faire aucune faute ?

      Répondre à une question en choisissant au hasard et de façon équiprobable, l'une des 4 réponses proposées est une épreuve de Bernoulli dont la probabilité du succès est p(S)=14.

      Répondre aux deux dernières questions en choisissant au hasard et de façon équiprobable, l'une des 4 réponses proposées est la répétition de deux épreuves de Bernoulli, identiques et indépendantes. La loi de probabilité associée au nombre X de réponses exactes est la loi binomiale de paramètres n=2 et p=14.

      La probabilité d'obtenir deux succès consécutifs est :p(X=2)=(14)2=116


      La probabilité que Quentin ne fasse aucune faute est égale à 116.


    4. Quelle probabilité a-t-il de faire deux fautes ?

      La probabilité d'obtenir deux échecs consécutifs est :p(X=0)=(1-14)2=(34)2=916

      La probabilité que Quentin fasse deux erreurs est égale à 916.


    5. Construire un tableau qui associe, à chaque total de points, sa probabilité. En déduire l'espérance mathématique de la note obtenue.

      Tableau de la loi binomiale de paramètres 2 et 14 :

      nombre k de réponses exactes 0 1 2
      p(X=k) 916 2×14×34=38 116

      On en déduit la loi de probabilité de la note obtenue par Quentin.

      note n 0 1,5 3
      p(N=n) 916 38 116

      L'espérance mathématique notée E(N)de cette loi est : (Voir la définition.) Soit P une loi de probabilité sur un ensemble fini de résultats numériques xi. L'espérance mathématique de cette loi est le nombre réel μ :μ=x1p1+x2p2++xnpn=i=1nxipi E(N)=0×916+1,5×38+3×116=0,75

      L'espérance mathématique de la note obtenue par Quentin est égale à 0,75.


  2. Nicolas adopte la stratégie de donner une réponse à chacune des trois dernières questions en choisissant au hasard et de façon équiprobable l'une des quatre réponses proposées.

    1. Quelles notes peut-il obtenir à ce Q.C.M ?

      Le nombre de réponses exactes de Nicolas aux trois dernières questions peut être de 0, 1, 2 ou 3. Sachant que si le total de points est négatif, la note globale attribuée à l'exercice est 0, le total des points que Nicolas peut obtenir est respectivement 0 ; 1; 2,5 ou 4.

      Les notes que Nicolas peut obtenir sont: 0 ; 1; 2,5 ou 4.


    2. Combien de grilles différentes peut-il remplir ?

      Comme dans la question précédente le nombre de réponses possibles à chaque question est de quatre. D'où un nombre de grilles égal à 4×4×4=43=64.

      Nicolas peut remplir 64 grilles différentes.


    3. Quelle probabilité a-t-il de ne faire aucune faute ?

      Répondre aux trois dernières questions en choisissant au hasard et de façon équiprobable, l'une des 4 réponses proposées est ici la répétition de trois épreuves de Bernoulli, identiques et indépendantes. La loi de probabilité associée au nombre X de réponses exactes est la loi binomiale de paramètres n=3 et p=14.

      La probabilité d'obtenir trois succès consécutifs est :p(X=3)=(14)3=164

      La probabilité que Nicolas ne fasse aucune faute est égale à 164.


    4. Quelle probabilité a-t-il de faire trois fautes ?

      La probabilité d'obtenir trois échecs consécutifs est :p(X=0)=(1-14)3=(34)3=2764

      La probabilité que Nicolas fasse trois fautes est égale à 2764.


    5. Construire un tableau qui associe, à chaque total de points, sa probabilité.
      En déduire l'espérance mathématique de la note obtenue.

      Tableau de la loi binomiale de paramètres 3 et 14 :

      nombre k de réponses exactes 0 1 2 3
      p(X=k) 2764 3×14×(34)2=2764 3×(14)2×34=964 164

      On en déduit la loi de probabilité de la note obtenue par Nicolas.

      note n 0 1 2,5 4
      p(N=n) 2764 2764 964 164

      L'espérance mathématique notée E(N)de cette loi est : E(N)=0×2764+1×2764+2,5×964+4×164=53,5640,836

      L'espérance mathématique de la note obtenue par Nicolas est 0,836 (arrondi à 10-3).


  3. Lucien choisit de ne répondre à aucune des trois dernières questions. Classer les stratégies de Quentin, Nicolas, Lucien.

    La note de Lucien est égale à 1.

    D'où le classement des stratégies par ordre décroissant d'espérance mathématique de note obtenue : 1. Stratégie de Lucien ; 2. stratégie de Nicolas ; 3. stratégie de Quentin.



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