Dans l'espace muni d'un repère orthonormal , on désigne par 𝒮 l'ensemble des points de l'espace tel que . On dit 𝒮 est la surface d'équation .
Une courbe de niveau de cote est l'intersection d'un plan d'équation , parallèle au plan avec la surface 𝒮. On définit de façon identique une courbe de niveau d'abscisse et une courbe de niveau d'ordonnée .
Soient les courbes de niveau d'abscisse 1, d'abscisse et d'abscisse 2.
Tracer les projections orthogonales de ces courbes de niveau dans le plan sur la figure 1 du document réponse.
Une courbe de niveau d'abscisse est l'intersection d'un plan d'équation , parallèle au plan avec la surface 𝒮.
Dans le plan une équation de la forme , est l'équation d'une droite.
Quelle est la nature des courbes de niveau d'abscisse constante?
Soit a un réel. Les coordonnées des points de la courbe de niveau d'abscisse constante a vérifient: .
Montrer que les courbes de niveau de cote constante non nulle sont des hyperboles.
Soit k un réel non nul. Les coordonnées des points de la courbe de niveau cote constante k vérifient: .
Sur la figure 2 sont représentées trois courbes , et représentant les projections orthogonales dans le plan de trois courbes de niveau de cote constante k.
Figure 2
Préciser, en le justifiant, la valeur de k associée à chaque courbe.
Utiliser les coordonnées des points qui figurent sur les trois courbes.
Le point A' représenté sur la courbe de la figure 2 est la projection orthogonale dans le plan d'un point , de la surface 𝒮.
Déterminer les coordonnées du point A dans le repère .
Le point A' est un point la courbe , projection orthogonale dans le plan de la courbe de niveau de cote 6 d'où ...
Préciser les coordonnées du point A'', projeté orthogonal de A dans le plan , puis placer ce point A'' sur la figure 1.
Soit 𝒫 le plan d'équation .
Montrer que le point A appartient au plan 𝒫.
Montrer que les coordonnées du point A vérifient l'équation du plan 𝒫.
Montrer que le plan 𝒫 contient la courbe de niveau d'abscisse 2 ...
Soit avec un point de la courbe de niveau d'abscisse 2.
Démontrer que l'intersection de la surface 𝒮 et du plan 𝒫 est la réunion de deux droites: la courbe de niveau d'abscisse 2 et une autre droite que l'on déterminera par un système d'équations cartésiennes.
On pourra utiliser la factorisation .
Dire que est un point de l'intersection de la surface 𝒮 et du plan 𝒫 équivaut à : .
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