sujet : asie

correction de l'exercice 1 : commun à tous les candidats

Pour chacune des questions, une seule des réponses A, B ou C est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.
Notation : une réponse exacte rapporte 1 point, une réponse fausse enlève 0,25 point, l'absence de réponse ne rapporte aucun point et n'en enlève aucun. Si le total des points est négatif, la note globale attribuée à l'exercice est 0.

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1. On peut affirmer que :

   D'après le tableau de variations nous avons $\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=+\infty$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=0$.

   Donc la réponse exacte est la réponse B.

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   • Réponse A : $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=-\infty$.

   • Réponse B : $\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=+\infty$.

   • Réponse C : $\underset{x\to 0}{\lim }f\left(x\right)=+\infty$.

2. La courbe (C) admet :

   $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=0$ alors, la courbe (C) admet pour asymptote la droite d'équation $y=0$ en $+\infty$.

   Donc la réponse exacte est la réponse C.

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   • Réponse A : la droite d'équation $x=0$ pour asymptote.

   • Réponse B : la droite d'équation $x=2$ pour asymptote.

   • Réponse C : la droite d'équation $y=0$ pour asymptote.

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3. Dans $ℝ$ l'équation $f\left(x\right)=0$ admet :

   La fonction f est dérivable sur $ℝ$ donc elle est continue sur $ℝ$ .
   Donc sur chacun des intervalles où la fonction est monotone, nous pouvons appliquer le théorème de la valeur intermédiaire :Si une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle $\left[a;b\right]$, alors pour tout réel k compris entre $f\left(a\right)$ et $f\left(b\right)$, l'équation $f\left(x\right)=k$ admet une solution unique α située dans l'intervalle $\left[a;b\right]$.

   • sur l'intervalle $\left]-\infty ;-1\right]$ , f est continue et strictement décroissante à valeurs dans $\left[-1;+\infty \right[$ et $0\in \left[-1;+\infty \right[$ donc l'équation $f\left(x\right)=0$ admet une solution unique dans l'intervalle $\left]-\infty ;-1\right]$.

   • f est continue et strictement croissante sur $\left[-2;2\right]$ à valeurs dans $\left[-1;\mathrm{e}\right]$ et $0\in \left[-1;\mathrm{e}\right]$ donc l'équation $f\left(x\right)=0$ admet une solution unique dans l'intervalle $\left[-2;2\right]$.

   • sur $\left[2;+\infty \right[$ , f est strictement décroissante et $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=0$ d'où pour tout réel x de l'intervalle $\left[2;+\infty \right[$, $f\left(x\right)>0$ donc l'équation $f\left(x\right)=0$ n'a pas de solution dans $\left[2;+\infty \right[$.

   Ainsi, l'équation $f\left(x\right)=0$ admet deux solutions distinctes.

   Donc la réponse exacte est la réponse B.

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   • Réponse A : une unique solution

   • Réponse B : deux solutions distinctes.

   • Réponse C : trois solutions distinctes.

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4. Dans $ℝ$ l'inéquation $f\left(x\right)>3$

   • Sur l'intervalle $\left[-2;+\infty \right[$, le maximum de la fonction f est égal à e.

     Or $\mathrm{e}<3$, donc pour tout réel $x⩾-2$, $f\left(x\right)<3$.

   • Sur l'intervalle $\left]-\infty ;-1\right]$, f est continue et strictement décroissante à valeurs dans $\left[-1;+\infty \right[$ et $3\in \left[-1;+\infty \right[$. D'après le théorème de la valeur intermédiaire, il existe un réel unique $\alpha \in \left]-\infty ;-1\right]$ tel que $f\left(\alpha \right)=3$.

     Or f est strictement décroissante sur cet intervalle. Donc pour tout réel $x<\alpha$, $f\left(x\right)>3$.

   Comme $\alpha <0$, la réponse exacte est la réponse C.

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   • Réponse A : n'a pas de solution.

   • Réponse B : a toutes ses solutions positives.

   • Réponse C : a toutes ses solutions négatives.

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