sujet : asie

Corrigé de l'exercice 2 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

I. Calculer le pourcentage d'augmentation du prix entre 2002 et 2006. Donner le résultat arrondi à 0,1 %.

Le pourcentage d'augmentation du prix entre 2002 et 2006 est :$${\displaystyle \frac{\mathrm{3,39}-\mathrm{2,64}}{\mathrm{2,64}}}\times 100\approx \mathrm{28,409}$$

Arrondi à 0,1 %, les prix ont augmenté de 28,4% entre 2002 et 2006.

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L'allure du nuage suggère deux types d'ajustement :

1. Ajustement affine

   1. Déterminer à l'aide de la calculatrice une équation de la droite d'ajustement de y en x obtenue par la méthode des moindres carrés, les coefficients étant arrondis au centième.

      Une équation de la droite de régression de y en x obtenue à l'aide de la calculatrice (coefficients arrondis à 10⁻²) est : $$y=\mathrm{0,17}x+\mathrm{2,57}$$

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   2. Quelle estimation du prix en euros (arrondie au centième d'euro) du m³ d'eau peut-on en déduire pour 2010 ?

      Le rang de l'année 2010 est 8 d'où une estimation à l'aide de cet ajustement de : $$\begin{array}{lll}y& =& \mathrm{0,17}\times 8+\mathrm{2,57}\\ & =& \mathrm{3,93}\end{array}$$

      Avec cet ajustement, on peut peut prévoir un prix du m³ d'eau de 3,93 € en 2010.

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2. Ajustement exponentiel

   On pose $z_i=\ln y_i$.
   On prend $z=\mathrm{0,06}x+\mathrm{0,95}$ pour équation de la droite d'ajustement de z en x obtenue par la méthode des moindres carrés, avec $z=\ln y$.

   1. En déduire qu'une relation entre y et x s'écrit alors sous la forme $y={\mathrm{e}}^{\mathrm{0,95}}\times {\mathrm{e}}^{\mathrm{0,06}x}$.

      Pour tout réel $y>0$$z=\ln y\iff y=\exp z$ d'où $$\begin{array}{lll}z=\mathrm{0,06}x+\mathrm{0,95}& \Rightarrow & y={\mathrm{e}}^{\mathrm{0,06}x+\mathrm{0,95}}\\ & \Rightarrow & y={\mathrm{e}}^{\mathrm{0,95}}\times {\mathrm{e}}^{\mathrm{0,06}x}\end{array}$$

      Ainsi, $y={\mathrm{e}}^{\mathrm{0,95}}\times {\mathrm{e}}^{\mathrm{0,06}x}$

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   2. Quelle estimation du prix en euros (arrondie au centième d'euro) du m³ d'eau peut-on en déduire pour 2010 ?

      Avec cet ajustement en 2010 on prévoit un prix du m³ d'eau de : $$\begin{array}{lll}y& =& {\mathrm{e}}^{\mathrm{0,95}}\times {\mathrm{e}}^{\mathrm{0,06}\times 8}\\ & \approx & \mathrm{4,187}\end{array}$$

      Arrondi au centime d'euro, le prix estimé du m³ d'eau sera de 4,19 € en 2010.

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