sujet : asie

correction de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

Les questions 1 et 2 sont indépendantes.

1. 1. Montrer que pour tout nombre réel x appartenant à l'intervalle $\left[1;6\right]$, $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{-2\left(x-1\right)\left(x-4\right)}{x}}$.

      Pour tout nombre réel x appartenant à l'intervalle $\left[1;6\right]$, $$\begin{array}{lll}f\prime \left(x\right)& =& -2x+10-{\displaystyle \frac{8}{x}}\\ & =& {\displaystyle \frac{-2x^2+10x-8}{x}}\\ & =& {\displaystyle \frac{-2\left(x^2-5x+4\right)}{x}}\end{array}$$

      Cherchons une factorisation du polynôme du second degré $x^2-5x+4$

      Le discriminant $\mathrm{\Delta }=25-4\times 4=9$. $\mathrm{\Delta }>0$ le polynôme admet deux racines distinctes $$\begin{array}{lll}{x}_1={\displaystyle \frac{5-3}{2}}=1& \text{ et }& x_2={\displaystyle \frac{5+3}{2}}=4\end{array}$$

      Donc pour tout réel x, $x^2-5x+4=\left(x-1\right)\left(x-4\right)$

      Ainsi, pour tout nombre réel x appartenant à l'intervalle $\left[1;6\right]$, $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{-2\left(x-1\right)\left(x-4\right)}{x}}$.

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   2. Étudier le signe de $f\prime \left(x\right)$ sur l'intervalle $\left[1;6\right]$.

      Le trinôme $x^2-5x+4$ est du signe de a c'est à dire positif sauf pour les valeurs de x comprises entre les racines.

      Donc sur l'intervalle $\left[1;6\right]$ : $$\{\begin{array}{ll}{x}^2-5x+4=0& \text{si }x=1\text{ ou }x=4\\ x^2-5x+4<0& \text{si }x\in \left]1;4\right[\\ x^2-5x+4>0& \text{si }x\in \left]4;6\right[\end{array}$$

      Comme sur l'intervalle $\left[1;6\right]$, $x>0$, on en déduit que :

      $\begin{array}{ll}\text{- si }x=1\text{ ou }x=4& f\prime \left(x\right)=0\\ \text{- pour tout }x\in \left]1;4\right[& f\prime \left(x\right)>0\\ \text{- pour tout }x\in \left]4;6\right[& f\prime \left(x\right)<0\end{array}$

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   3. En déduire le tableau de variations de la fonction f sur l'intervalle $\left[1;6\right]$.

      Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée, d'où le tableau de variations de la fonction f :

      x	1		4		6
      $f\prime \left(x\right)$	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−
      $f\left(x\right)$	0		$15-16\ln 2$		$15-8\ln 6$

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      Calcul des valeurs particulières

      • $f\left(1\right)=-1^2+10\times 1-9-8\ln \left(1\right)=0$

      • $f\left(4\right)=-4^2+10\times 4-9-8\ln \left(4\right)=15-16\ln 2$

      • $f\left(6\right)=-6^2+10\times 6-9-8\ln \left(6\right)=15-8\ln 6$

   4. Quelle est la quantité de pièces à produire pour obtenir un bénéfice mensuel maximal ? Calculer ce bénéfice arrondi à l'euro près.

      D'apès le tableau de variations, la fonction f amet un maximum pour $x=4.$ Exprimé en dizaines de milliers d'euros, le bénéfice maximum est donc $f\left(4\right)=15-16\ln 2\approx \mathrm{3,90964}$

      Arrondi à l'euro près, le bénéfice mensuel maximal est de 39 096 € atteint avec une production de 400 pièces.

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2. 1. Prouver que la fonction g définie sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ par $g\left(x\right)=x\ln \left(x\right)-x$ est une primitive de la fonction logarithme népérien sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$.

      Dire que la fonction g est une primitive de la fonction logarithme népérien sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ , signifie que pour tout réel x de l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$, $g\prime \left(x\right)=\ln x$.

      Or pour tout réel x de l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ : $$\begin{array}{lll}g\prime \left(x\right)& =& 1\times \ln x+x\times {\displaystyle \frac{1}{x}}-1\\ & =& \ln x+1-1\\ & =& \ln x\end{array}$$

      Ainsi, la fonction g est une primitive de la fonction logarithme népérien sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$.

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   2. En déduire une primitive F de la fonction f sur l'intervalle $\left[1;6\right]$.

      Du résultat précédent, on déduit qu'une primitive de la fonction f est la fonction F définie sur $\left[1;6\right]$ par : $$\begin{array}{lll}F\left(x\right)& =& -{\displaystyle \frac{x^3}{3}}+10\times {\displaystyle \frac{x^2}{2}}-9x-8\left(x\ln \left(x\right)-x\right)\\ & =& -{\displaystyle \frac{x^3}{3}}+5x^2-x-8x\ln \left(x\right)\end{array}$$

      Une primitive de la fonction f est la fonction F définie sur $\left[1;6\right]$ par $F\left(x\right)=-{\displaystyle \frac{x^3}{3}}+5x^2-x-8x\ln x$.

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   3. Calculer la valeur moyenne de la fonction f sur l'intervalle $\left[1;6\right]$ (donner la valeur décimale arrondie au dixième).
      Rappel :
      Soit f une fonction et $\left[a;b\right]$ un intervalle sur lequel f est définie et dérivable. La valeur moyenne m de f sur l'intervalle $\left[a;b\right]$, est le nombre m tel que : $$m={\displaystyle {\displaystyle \frac{1}{b-a}}\times {\int }_a^{b}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$$

      La valeur moyenne de la fonction f sur l'intervalle $\left[1;6\right]$ est le nombre m tel que : $$\begin{array}{lll}m={\displaystyle {\displaystyle \frac{1}{6-1}}\times {\int }_1^{6}f\left(x\right)\mathrm{d}x}& =& {\displaystyle {\displaystyle \frac{1}{5}}\times {\left[-{\displaystyle \frac{x^3}{3}}+5x^2-x-8x\ln x\right]}_1^6}\\ & =& {\displaystyle \frac{1}{5}}\times \left[\left(-{\displaystyle \frac{6^3}{3}}+5\times 6^2-6-8\times 6\times \ln 6\right)-\left(-{\displaystyle \frac{1^3}{3}}+5\times 1^2-1-8\times 1\times \ln 1\right)\right]\\ & =& {\displaystyle \frac{1}{5}}\times \left[\left(-72+180-6-48\times \ln 6\right)-\left(-{\displaystyle \frac{1}{3}}+5-1\right)\right]\\ & =& {\displaystyle \frac{1}{5}}\times \left(102-48\ln 6-{\displaystyle \frac{11}{3}}\right)\\ & =& {\displaystyle \frac{59}{3}}-{\displaystyle \frac{48}{5}}\ln 6\end{array}$$

      Arrondie au dixième, la valeur moyenne de la fonction f sur l'intervalle $\left[1;6\right]$ est égale à 2,5.

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