Baccalauréat juin 2007 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : asie

correction de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

Une entreprise produit et vend un modèle de pièces pour hélicoptères. Pour des raisons techniques et de stockage, sa production mensuelle est comprise entre 100 et 600 pièces. Elle vend tout ce qui est produit.

On considère la fonction f définie sur l'intervalle 16 par fx=-x2+10x-9-8lnxfx représente le bénéfice mensuel, exprimé en dizaines de milliers d'euros, obtenu pour la vente de x centaines de pièces.

La fonction f est dérivable sur l'intervalle 16. On note f sa fonction dérivée.

Les questions 1 et 2 sont indépendantes.

    1. Montrer que pour tout nombre réel x appartenant à l'intervalle 16, fx=-2x-1x-4x.

      Pour tout nombre réel x appartenant à l'intervalle 16, fx=-2x+10-8x=-2x2+10x-8x=-2x2-5x+4x

      Cherchons une factorisation du polynôme du second degré x2-5x+4

      Le discriminant Δ=25-4×4=9. Δ>0 le polynôme admet deux racines distinctes x1=5-32=1 et x2=5+32=4

      Donc pour tout réel x, x2-5x+4=x-1x-4

      Ainsi, pour tout nombre réel x appartenant à l'intervalle 16, fx=-2x-1x-4x.


    2. Étudier le signe de fx sur l'intervalle 16.

      Le trinôme x2-5x+4 est du signe de a c'est à dire positif sauf pour les valeurs de x comprises entre les racines.

      Donc sur l'intervalle 16 : {x2-5x+4=0si x=1 ou x=4x2-5x+4<0si x14x2-5x+4>0si x46

      Comme sur l'intervalle 16, x>0, on en déduit que :

      - si x=1 ou x=4fx=0- pour tout x14fx>0- pour tout x46fx<0


    3. En déduire le tableau de variations de la fonction f sur l'intervalle 16.

      Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée, d'où le tableau de variations de la fonction f :

      x1 4 6
      fx0||+0|| 
      fx

      0

      fonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

      15-16ln2

      fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

      15-8ln6


      Calcul des valeurs particulières

      • f1=-12+10×1-9-8ln1=0

      • f4=-42+10×4-9-8ln4=15-16ln2

      • f6=-62+10×6-9-8ln6=15-8ln6

    4. Quelle est la quantité de pièces à produire pour obtenir un bénéfice mensuel maximal ? Calculer ce bénéfice arrondi à l'euro près.

      D'apès le tableau de variations, la fonction f amet un maximum pour x=4. Exprimé en dizaines de milliers d'euros, le bénéfice maximum est donc f4=15-16ln23,90964

      Arrondi à l'euro près, le bénéfice mensuel maximal est de 39 096 € atteint avec une production de 400 pièces.


    1. Prouver que la fonction g définie sur l'intervalle 0+ par gx=xlnx-x est une primitive de la fonction logarithme népérien sur l'intervalle 0+.

      Dire que la fonction g est une primitive de la fonction logarithme népérien sur l'intervalle 0+ , signifie que pour tout réel x de l'intervalle 0+, gx=lnx.

      Or pour tout réel x de l'intervalle 0+ : gx=1×lnx+x×1x-1=lnx+1-1=lnx

      Ainsi, la fonction g est une primitive de la fonction logarithme népérien sur l'intervalle 0+.


    2. En déduire une primitive F de la fonction f sur l'intervalle 16.

      Du résultat précédent, on déduit qu'une primitive de la fonction f est la fonction F définie sur 16 par : Fx=-x33+10×x22-9x-8xlnx-x=-x33+5x2-x-8xlnx

      Une primitive de la fonction f est la fonction F définie sur 16 par Fx=-x33+5x2-x-8xlnx.


    3. Calculer la valeur moyenne de la fonction f sur l'intervalle 16 (donner la valeur décimale arrondie au dixième).
      Rappel :
      Soit f une fonction et ab un intervalle sur lequel f est définie et dérivable. La valeur moyenne m de f sur l'intervalle ab, est le nombre m tel que : m=1b-a×abfxdx

      La valeur moyenne de la fonction f sur l'intervalle 16 est le nombre m tel que : m=16-1×16fxdx=15×-x33+5x2-x-8xlnx16=15×-633+5×62-6-8×6×ln6--133+5×12-1-8×1×ln1=15×-72+180-6-48×ln6--13+5-1=15×102-48ln6-113=593-485ln6

      Arrondie au dixième, la valeur moyenne de la fonction f sur l'intervalle 16 est égale à 2,5.



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