sujet : centres étrangers

correction de l'exercice 3 : commun à tous les candidats

On suppose que, pour tous les jours de septembre, la probabilité qu'il pleuve est ${\displaystyle \frac{1}{4}}$ .
S'il pleut, la probabilité que Monsieur X arrive à l'heure à son travail est ${\displaystyle \frac{1}{3}}$ .
S'il ne pleut pas, la probabilité que Monsieur X arrive à l'heure à son travail est ${\displaystyle \frac{5}{6}}$ .

1. Représenter par un arbre de probabilité la situation ci-dessus.

   Notons A l'évènement "il pleut" et T l'évènement "Monsieur X arrive à l'heure à son travail".

   Pour tous les jours de septembre, la probabilité qu'il pleuve est ${\displaystyle \frac{1}{4}}$ alors $p\left(A\right)={\displaystyle \frac{1}{4}}$ et $p\left(\overline{A}\right)={\displaystyle \frac{3}{4}}$.

   S'il pleut, la probabilité que Monsieur X arrive à l'heure à son travail est ${\displaystyle \frac{1}{3}}$ alors $p_A\left(T\right)={\displaystyle \frac{1}{3}}$ et $p_A\left(\overline{T}\right)={\displaystyle \frac{2}{3}}$.

   S'il ne pleut pas, la probabilité que Monsieur X arrive à l'heure à son travail est ${\displaystyle \frac{5}{6}}$ alors $p_{\overline{A}}\left(T\right)={\displaystyle \frac{5}{6}}$ et $p_{\overline{A}}\left(\overline{T}\right)={\displaystyle \frac{1}{6}}$.

   D'où l'arbre de probabilité traduisant la situation :

2. Quelle est la probabilité qu'un jour de septembre donné, il pleuve et que Monsieur X arrive à l'heure à son travail ?

   $$\begin{array}{lll}p\left(A\cap T\right)& =& p_A\left(T\right)\times p\left(A\right)\\ & =& {\displaystyle \frac{1}{3}}\times {\displaystyle \frac{1}{4}}\\ & =& {\displaystyle \frac{1}{12}}\end{array}$$

   La probabilité qu'un jour de septembre donné, il pleuve et que Monsieur X arrive à l'heure à son travail est $p\left(A\cap T\right)={\displaystyle \frac{1}{12}}$

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3. Montrer que la probabilité qu'un jour de septembre donné, Monsieur X arrive à l'heure à son travail est ${\displaystyle \frac{17}{24}}$ .

   Les évènements A et T sont relatifs à la même épreuve alors, d'après la formule des probabilités totales :$A_1,A_2,\cdots ,A_n$  forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience aléatoire.
   Alors la probabilité d'un événement B est donnée par : $$p\left(B\right)=p\left(B\cap A_1\right)+p\left(B\cap A_2\right)+\cdots +p\left(B\cap A_n\right)$$
   Dans le cas de deux évènements quelconques, A et B, relatifs à une même épreuve :$$p\left(B\right)=p\left(B\cap A\right)+p\left(B\cap \overline{A}\right)$$$$p\left(T\right)=p\left(T\cap A\right)+p\left(T\cap \overline{A}\right)$$

   Or $$\begin{array}{lll}p\left(\overline{A}\cap T\right)& =& p_{\overline{A}}\left(T\right)\times p\left(\overline{A}\right)\\ & =& {\displaystyle \frac{5}{6}}\times {\displaystyle \frac{3}{4}}\\ & =& {\displaystyle \frac{15}{24}}\end{array}$$

   Donc $$\begin{array}{lll}p\left(T\right)& =& p\left(T\cap A\right)+p\left(T\cap \overline{A}\right)\\ & =& {\displaystyle \frac{1}{12}}+{\displaystyle \frac{15}{24}}\\ & =& {\displaystyle \frac{17}{24}}\end{array}$$

   La probabilité qu'un jour de septembre donné, Monsieur X arrive à l'heure à son travail est $p\left(T\right)={\displaystyle \frac{17}{24}}$ .

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4. Un jour de septembre donné, Monsieur X arrive à l'heure à son travail. Quelle est la probabilité qu'il ait plu ce jour là ?

   $$\begin{array}{lll}{p}_T\left(A\right)& =& {\displaystyle \frac{p\left(T\cap A\right)}{p\left(T\right)}}\\ & =& {\displaystyle \frac{1}{12}}\times {\displaystyle \frac{24}{17}}\\ & =& {\displaystyle \frac{2}{17}}\end{array}$$

   La probabilité qu'il ait plu sachant que Monsieur X arrive à l'heure est $p_T\left(A\right)={\displaystyle \frac{2}{17}}$.

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5. Sur une période de 4 jours de septembre, quelle est la probabilité que Monsieur X arrive à l'heure au moins une fois ? On arrondira le résultat à 10^-3 près.

   L'évènement "Sur une période de 4 jours, Monsieur X arrive au moins une fois à l'heure" est l'évènement contraire de l'évènement "Monsieur X n'arrive pas à l'heure les quatre jours".

   Or la probabilité de l'évènement "Monsieur X n'arrive pas à l'heure à son travail" est :$$\begin{array}{lll}p\left(\overline{T}\right)& =& 1-p\left(T\right)\\ & =& 1-{\displaystyle \frac{17}{24}}\\ & =& {\displaystyle \frac{7}{24}}\end{array}$$

   Sur une période de 4 jours, nous sommes dans le cas d'une répétition de quatre épreuves aléatoires et indépendantes. La loi de probabilité associée au nombre de jours où Monsieur X n'arrive pas à l'heure est une loi binomiale de paramètres 4 et ${\displaystyle \frac{7}{24}}$ . D'où la probabilité de l'évènement "Monsieur X n'arrive pas à l'heure les quatre jours" est : $${\left({\displaystyle \frac{7}{24}}\right)}^4$$

   Par conséquent, la probabilité que Monsieur X n'arrive pas à l'heure au moins une fois est : $$1-{\left({\displaystyle \frac{7}{24}}\right)}^4\approx \mathrm{0,9927}$$

   Arrondie à 10^-3 près, la probabilité que Monsieur X arrive à l'heure au moins une fois  est 0,993.

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