1. $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left({\mathrm{e}}^{-x^2+3}\right)$ est égale à :

$\underset{x\to -\infty }{\lim }-x^2+3=-\infty$ et $\underset{X\to -\infty }{\lim }{\mathrm{e}}^X=0$ donc $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left({\mathrm{e}}^{-x^2+3}\right)=0$

2. ${\mathrm{e}}^{\ln \left(2\right)}+\mathrm{e}-4$ est égale à :

$$\begin{array}{lll}{\mathrm{e}}^{\ln \left(2\right)}+\mathrm{e}-4& =& 2+\mathrm{e}-4\\ & =& \mathrm{e}-2\end{array}$$

• $\mathrm{e}-2$

  ---

• $\ln \left(2\right)+\mathrm{e}-4$

• − 2

3. $\ln \left(1-x\right)⩾1$ est équivalente à :

$\ln \left(1-x\right)⩾1$ équivaut à $1-x>0$ et $1-x⩾\mathrm{e}$

Soit $$\begin{array}{lll}1-x⩾\mathrm{e}& \iff & -x⩾\mathrm{e}-1\\ & \iff & x⩽1-\mathrm{e}\end{array}$$

• $x⩽1-\mathrm{e}$

  ---

• $x<0$

• $x>-\mathrm{e}$

4. La fonction f définie sur $\left]0;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)=\ln \left(x\right)+2$ a pour primitive la fonction F définie sur $\left]0;+\infty \right[$ par :

La dérivée de la fonction F définie sur $\left]0;+\infty \right[$ par $F\left(x\right)=x\ln x$ est : $$\begin{array}{lll}F\prime \left(x\right)& =& 1\times \ln x+x\times {\displaystyle \frac{1}{x}}\\ & =& \ln x+1\end{array}$$

Par conséquent, la dérivée de la fonction F définie sur $\left]0;+\infty \right[$ par $F\left(x\right)=x\ln x-x$ est : $$\begin{array}{lll}F\prime \left(x\right)& =& \left(\ln x+1\right)-1\\ & =& \ln x\end{array}$$

et la dérivée de la fonction F définie sur $\left]0;+\infty \right[$ par $F\left(x\right)=x\ln x+x$ est : $$\begin{array}{lll}F\prime \left(x\right)& =& \left(\ln x+1\right)+1\\ & =& \ln x+2\end{array}$$

Soit F la fonction définie sur $\left]0;+\infty \right[$ par $F\left(x\right)=x\ln x+x$ . Pour tout  réel x strictement positif, $F\prime \left(x\right)=f\left(x\right)$ alors F est une primitive de la fonctionf définie sur $\left]0;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)=\ln x+2$

• $F\left(x\right)=x\ln x$

• $F\left(x\right)=x\ln x-x$

• $F\left(x\right)=x\ln x+x$

  ---

5. $P\left(\overline{\mathrm{A}}\right)$ est égale à :

$$\begin{array}{lll}P\left(\overline{\mathrm{A}}\right)& =& 1-P\left(\mathrm{A}\right)\\ & =& 1-a^2\\ & =& \left(1-a\right)\left(1+a\right)\end{array}$$

6. $P\left(\mathrm{A}\cup \mathrm{B}\right)$ est égale à :

$$\begin{array}{lll}P\left(\mathrm{A}\cup \mathrm{B}\right)& =& P\left(\mathrm{A}\right)+P\left(\mathrm{B}\right)-P\left(\mathrm{A}\cap \mathrm{B}\right)\\ & =& a^2+b^2-2ab\\ & =& {\left(a-b\right)}^2\end{array}$$

• ${\left(a+b\right)}^2$

• ${\left(a-b\right)}^2$

  ---

• $a^2+b^2$

7. $P_{\mathrm{B}}\left(\mathrm{A}\right)$ est égale à :

$$\begin{array}{lll}{P}_{\mathrm{B}}\left(\mathrm{A}\right)& =& {\displaystyle \frac{P\left(\mathrm{A}\cap \mathrm{B}\right)}{P\left(\mathrm{B}\right)}}\\ & =& {\displaystyle \frac{2ab}{b^2}}\\ & =& {\displaystyle \frac{2a}{b}}\end{array}$$

• ${\displaystyle \frac{a}{2b}}$

• ${\displaystyle \frac{2b}{a}}$

• ${\displaystyle \frac{2a}{b}}$

  ---

8. $U_{n+1}$ est égal à :

${\left(U_n\right)}_{n⩾0}$ est une suite géométrique de raison ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ alors $U_{n+1}={\displaystyle \frac{1}{2}}\times U_n$.

9. $U_n$ est égal à :

${\left(U_n\right)}_{n⩾0}$ est une suite géométrique de premier terme  $U_0=2$ et de raison ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ alors pour tout entier n : $$\begin{array}{lll}{U}_n& =& U_0\times {\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^n\\ & =& 2\times {\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^n\\ & =& {\displaystyle \frac{2}{2^n}}\\ & =& 2^{\left(1-n\right)}\end{array}$$

• $2+{\displaystyle \frac{1}{2}}n$

• $2^{\left(1-n\right)}$

  ---

• $2^{\left(n+1\right)}$

10. $U_0+U_1+U_2+U_3+U_4$ est égale à :

La somme des 5 termes consécutifs de la suite géométrique est d'après la formule :La somme $S_n$ de termes consécutifs d'une suite géométrique $\left(u_n\right)$ de raison $q\ne 1$ est : $$\begin{array}{ccccc}{S}_n& =& u_0+u_1+\dots +u_n& =& u_0\times {\displaystyle \frac{1-q^{n+1}}{1-q}}\end{array}$$$$\text{somme de termes consécutifs d'une suite géométrique}=\text{terme initial}\times {\displaystyle \frac{1-{\text{raison}}^{\text{nombre de termes}}}{1-\text{raison}}}$$

$$\begin{array}{lll}{U}_0+U_1+U_2+U_3+U_4& =& 2\times {\displaystyle \frac{1-{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^5}{1-{\displaystyle \frac{1}{2}}}}\\ & =& 2\times {\displaystyle \frac{1-{\displaystyle \frac{1}{32}}}{{\displaystyle \frac{1}{2}}}}\\ & =& 4\times {\displaystyle \frac{31}{32}}\\ & =& {\displaystyle \frac{31}{8}}\end{array}$$

• ${\displaystyle \frac{31}{8}}$

  ---

• 15

• ${\displaystyle \frac{15}{8}}$