Baccalauréat juin 2007 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet: centres étrangers

exercice 1 ( 5 points ) commun à tous les candidats

Questionnaire à choix multiples

Pour chaque question, une seule des trois réponses est exacte. L'exercice consiste à cocher la réponse exacte sans justification. Une bonne réponse apporte 0,5 point ; une mauvaise réponse enlève 0,25 point. L'absence de réponse n'apporte ni n'enlève aucun point. Si le total des points de l'exercice est négatif, il est ramené à 0.

partie a

1. limx-e-x2+3 est égale à :

  • + ∞

  • 0

  • e3

2. eln2+e-4 est égale à :

  • e-2

  • ln2+e-4

  • − 2

3. ln1-x1 est équivalente à :

  • x1-e

  • x<0

  • x>-e

4. La fonction f définie sur 0+ par fx=lnx+2 a pour primitive la fonction F définie sur 0+ par :

  • Fx=xlnx

  • Fx=xlnx-x

  • Fx=xlnx+x

partie b

Soient a et b deux réels strictement positifs. A et B sont deux évènements associés à une expérience aléatoire. On sait que PA=a2, PB=b2 et PAB=2ab. Alors,

5. PA¯ est égale à :

  • 1-a1+a

  • a2-1

  • b2-a2

6. PAB est égale à :

  • a+b2

  • a-b2

  • a2+b2

7. P B A est égale à :

  • a2b

  • 2ba

  • 2ab

partie c

Soit Unn0 , la suite géométrique de premier terme  U0=2 et de raison 12 . Alors,

8. Un+1 est égal à :

  • Un+12

  • 12Un

  • Un12

9. Un est égal à :

  • 2+12n

  • 21-n

  • 2n+1

10. U0+U1+U2+U3+U4 est égale à :

  • 318

  • 15

  • 158


exercice 2 ( 5 points ) candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

On considère une fonction f définie et dérivable sur I=04; sa courbe représentative est donnée ci-dessous dans un repère orthogonal. On note f la fonction dérivée de f.
Sont également tracées les tangentes à la courbe aux points d'abscisse 0 et 2 , ainsi que la droite (d) d'équation y=x+2.
Aux points d'abscisses 1 et 3 les tangentes à la courbe sont parallèles à l'axe des abscisses.

Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  1. Par lecture graphique, déterminer :

    1. f0 et f0.

    2. f1 et f1.

    3. f2 et f2.

    4. L'ensemble des réels x tels que fxx+2 .

    1. Par lecture graphique, dresser le tableau de variations de f sur I ; on indiquera le signe de fx .

    2. En déduire le tableau de variations de la fonction g définie sur 04 par gx=lnfx.

  2. On appelle A l'aire du domaine hachuré exprimée en unités d'aire. Parmi les trois propositions suivantes, déterminer celle qui est exacte, en la justifiant par des arguments géométriques :
    a) 0A1               b) 1A6               c) 6A8.

  3. On suppose que fx=mx3+nx2+px+q , où m, n, p et q sont des réels.

    1. En utilisant les résultats de la question 1.a, déterminer p et q.

    2. En utilisant les résultats de la question 1.b, déterminer m et n.

  4. On admet que fx=x3-6x2+9x+2.

    1. Démontrer que les tangentes à la courbe aux points d'abscisses 0 et 4 sont parallèles.

    2. Calculer, en unités d'aire, l'aire A du domaine hachuré.


exercice 2 ( 5 points ) candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Les parties A et B sont indépendantes

L'objet d'étude est le réseau des égouts d'une ville. Ce réseau est modélisé par le graphe ci-dessous : les sommets représentent les stations et les arêtes, les canalisations.

Graphe : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

partie a

  1. Ce graphe admet-il une chaîne eulérienne ?

  2. Justifier que le nombre chromatique de ce graphe est compris entre 4 et 6.

partie b

Graphe pondéré : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

Le graphe pondéré ci-dessus donne, en minutes, les durées des trajets existant entre les différentes stations du réseau des égouts.

  1. Un ouvrier doit se rendre par ce réseau de la station E à la station S. Déterminer, en utilisant un algorithme, le trajet le plus rapide pour aller de E à S et préciser sa durée.

  2. Ayant choisi le trajet le plus rapide, l'ouvrier arrivant en C, apprend que les canalisations CG et CS sont fermées pour cause de travaux et qu'il ne peut les utiliser.

    1. Peut-il terminer, au plus vite, son trajet jusqu'à S ? Combien de temps le trajet entre E et S prendra-t-il dans ce cas ?

    2. S'il avait su dès le départ que les canalisations CG et CS étaient impraticables, quel trajet aurait choisi l'ouvrier pour se rendre, au plus vite de E à S ? Combien de temps ce trajet aurait-il pris ?


exercice 3 ( 3 points ) commun à tous les candidats

On suppose que, pour tous les jours de septembre, la probabilité qu'il pleuve est 14 .
S'il pleut, la probabilité que Monsieur X arrive à l'heure à son travail est 13 .
S'il ne pleut pas, la probabilité que Monsieur X arrive à l'heure à son travail est 56 .

  1. Représenter par un arbre de probabilité la situation ci-dessus.

  2. Quelle est la probabilité qu'un jour de septembre donné, il pleuve et que Monsieur X arrive à l'heure à son travail ?

  3. Montrer que la probabilité qu'un jour de septembre donné, Monsieur X arrive à l'heure à son travail est 1724 .

  4. Un jour de septembre donné, Monsieur X arrive à l'heure à son travail. Quelle est la probabilité qu'il ait plu ce jour là ?

  5. Sur une période de 4 jours de septembre, quelle est la probabilité que Monsieur X arrive à l'heure au moins une fois ? On arrondira le résultat à 10-3 près.


exercice 4 ( 7 points ) commun à tous les candidats

On s'intéresse à la production mensuelle d'une certaine catégorie d'articles par une entreprise E. On sait que le nombre d'articles produits par mois est compris entre 0 et 500. On suppose que le coût marginal, exprimé en milliers d'euros, peut être modélisé par la fonction C définie sur l'intervalle 05 par Cx=4x+1-2xe-2x+3x représente le nombre de centaines d'articles fabriqués.

  1. On sait que la fonction coût total, notée CT, est la primitive de la fonction C sur 05 qui s'annule pour x=0. Justifier que CTx=2x2+xe-2x+3.

  2. La fonction coût moyen, notée CM est la fonction définie sur 05 par CMx=CTxx Donner une expression de CMx en fonction de x.

    1. Déterminer CMxCM désigne la fonction dérivée de CM.

    2. Résoudre dans l'équation : 1-e-2x+3=0 .

    3. Résoudre dans l'inéquation : 1-e-2x+3>0 .

    4. En déduire le sens de variations de CM sur 05.

  3. Pour quelle production l'entreprise a-t-elle un coût moyen minimal et quel est ce coût en euros ?

  4. Chaque centaine d'articles est vendue 7 000 €. La recette totale pour x centaines d'articles est donnée, en admettant que toute la production soit vendue, par RTx=7x en milliers d'euros. Le bénéfice est donc défini par BTx=RTx-CTx .

    1. Ci-dessous, sont représentées les fonctions CT et RT. Par lecture graphique déterminer :

      • le coût moyen minimal ;
      • l'intervalle dans lequel doit se situer la production x pour qu'il y ait un bénéfice positif de l'entreprise E ;
      • la production x0 pour laquelle le bénéfice est maximal.

      On fera apparaître les constructions nécessaires.

      Courbes représentatives des fonctions coût et recette : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
    2. Avec l'aide de votre calculatrice, affiner l'intervalle (à un article près) dans lequel doit se situer la production x pour qu'il y ait un bénéfice positif de l'entreprise E.



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✉ A.Yallouz

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