Baccalauréat juin 2007 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : centres étrangers

indications pour l'exercice 4 : commun à tous les candidats

On s'intéresse à la production mensuelle d'une certaine catégorie d'articles par une entreprise E. On sait que le nombre d'articles produits par mois est compris entre 0 et 500. On suppose que le coût marginal, exprimé en milliers d'euros, peut être modélisé par la fonction C définie sur l'intervalle $[0; 5]$ par $C (x) = 4 x + (1 - 2 x) e^{- 2 x + 3}$ où x représente le nombre de centaines d'articles fabriqués.

On sait que la fonction coût total, notée $C_{T}$ , est la primitive de la fonction C sur $[0; 5]$ qui s'annule pour $x = 0$ . Justifier que $C_{T} (x) = 2 x^{2} + x e^{- 2 x + 3}$ .
La fonction coût moyen, notée $C_{M}$ est la fonction définie sur $] 0; 5]$ par $C_{M} (x) = \frac{C_{T} (x)}{x}$ . Donner une expression de $C_{M} (x)$ en fonction de x.
1. Déterminer $C_{M}^{'} (x)$ où $C_{M}^{'}$ désigne la fonction dérivée de $C_{M}$ .
2. Résoudre dans $ℝ$ l'équation : $1 - e^{- 2 x + 3} = 0$ .
3. Résoudre dans $ℝ$ l'inéquation : $1 - e^{- 2 x + 3} > 0$ .
4. En déduire le sens de variations de $C_{M}$ sur $] 0; 5]$ .
Pour quelle production l'entreprise a-t-elle un coût moyen minimal et quel est ce coût en euros ?
Chaque centaine d'articles est vendue 7 000 €. La recette totale pour x centaines d'articles est donnée, en admettant que toute la production soit vendue, par $R_{T} (x) = 7 x$ en milliers d'euros. Le bénéfice est donc défini par $B_{T} (x) = R_{T} (x) - C_{T} (x)$ .
1. Ci-dessous, sont représentées les fonctions $C_{T}$ et $R_{T}$ . Par lecture graphique déterminer :
  - le coût moyen minimal ;
  - l'intervalle dans lequel doit se situer la production x pour qu'il y ait un bénéfice positif de l'entreprise E ;
  - la production $x_{0}$ pour laquelle le bénéfice est maximal.
  On fera apparaître les constructions nécessaires.
  - Le coût moyen de production est minimal pour un point M de la courbe représentative de la fonction coût total $C_{T}$ tel que le coefficient directeur de la droite (OM) soit le plus petit possible.
  - Quand la recette est supérieure au coût total, l'entreprise réalise un bénéfice. Le profit se mesure par la distance verticale entre les deux courbes. Le profit est maximal lorsque cette distance est maximale.
    Le bénéfice est maximal en un point de la courbe $C_{T}$ où la tangente à la courbe est parallèle à la droite représentative de la fonction recette.
2. Avec l'aide de votre calculatrice, affiner l'intervalle (à un article près) dans lequel doit se situer la production x pour qu'il y ait un bénéfice positif de l'entreprise E.

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