sujet : centres étrangers

correction de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

On s'intéresse à la production mensuelle d'une certaine catégorie d'articles par une entreprise E. On sait que le nombre d'articles produits par mois est compris entre 0 et 500. On suppose que le coût marginal, exprimé en milliers d'euros, peut être modélisé par la fonction C définie sur l'intervalle $\left[0;5\right]$ par $C\left(x\right)=4x+\left(1-2x\right){\mathrm{e}}^{-2x+3}$ où x représente le nombre de centaines d'articles fabriqués.

1. On sait que la fonction coût total, notée $C_T$, est la primitive de la fonction C sur $\left[0;5\right]$ qui s'annule pour $x=0$. Justifier que $C_T\left(x\right)=2x^2+x{\mathrm{e}}^{-2x+3}$.

   Montrons que la fonction $C_T$ est une primitive de la fonction C.

   Sur $\left[0;5\right]$ dire que la fonction $C_T$ est une primitive de la fonction C signifie que pour tout réel x de l'intervalle $\left[0;5\right]$, $$C_T^{\prime }\left(x\right)=C\left(x\right)$$

   $C_T\left(x\right)=2x^2+x{\mathrm{e}}^{-2x+3}$. Sur $\left[0;5\right]$ :

   • la fonction $x⟼{\mathrm{e}}^{-2x+3}$ est de la forme ${\mathrm{e}}^u$ . Sa dérivée est la fonction $x⟼-2{\mathrm{e}}^{-2x+3}$

   • la fonction $x⟼x{\mathrm{e}}^{-2x+3}$ est de la forme $u\times v$. Sa dérivée est de la forme $u\prime v+uv\prime$ avec :
     $u\left(x\right)=x$ d'où $u\prime \left(x\right)=1$
     $v\left(x\right)={\mathrm{e}}^{-2x+3}$ et $v\prime \left(x\right)=-2{\mathrm{e}}^{-2x+3}$
     Donc la dérivée de la fonction $x⟼x{\mathrm{e}}^{-2x+3}$ est la fonction $x⟼{\mathrm{e}}^{-2x+3}-2x{\mathrm{e}}^{-2x+3}$

   Ainsi, $C_T$ est dérivable sur $\left[0;5\right]$ et $$\begin{array}{lll}{C}_T^{\prime }\left(x\right)& =& 2\times 2x+{\mathrm{e}}^{-2x+3}-2x{\mathrm{e}}^{-2x+3}\\ & =& 4x+\left(1-2x\right){\mathrm{e}}^{-2x+3}\\ & =& C\left(x\right)\end{array}$$

   Sur $\left[0;5\right]$, la fonction $C_T$ est une primitive de la fonction C.

   D'autre part, $$\begin{array}{lll}{C}_T\left(0\right)& =& 2\times 0^2+0\times {\mathrm{e}}^{-2\times 0+3}\\ & =& 0\end{array}$$

   Donc $C_T$ est la primitive de la fonction C sur $\left[0;5\right]$ qui s'annule pour $x=0$.

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2. La fonction coût moyen, notée $C_M$ est la fonction définie sur $\left]0;5\right]$ par $C_M\left(x\right)={\displaystyle \frac{C_T\left(x\right)}{x}}$ . Donner une expression de $C_M\left(x\right)$ en fonction de x.

   Pour tout réel x de l'intervalle $\left]0;5\right]$, $$\begin{array}{lll}{C}_M\left(x\right)& =& {\displaystyle \frac{C_T\left(x\right)}{x}}\\ & =& {\displaystyle \frac{2x^2+x{\mathrm{e}}^{-2x+3}}{x}}\\ & =& 2x+{\mathrm{e}}^{-2x+3}\end{array}$$

   La fonction coût moyen est la fonction $C_M$ définie sur $\left]0;5\right]$ par $C_M\left(x\right)=2x+{\mathrm{e}}^{-2x+3}$.

   ---

3. 1. Déterminer $C_M^{\prime }\left(x\right)$ où $C_M^{\prime }$ désigne la fonction dérivée de $C_M$.

      Pour tout réel x de l'intervalle $\left]0;5\right]$, $$\begin{array}{lll}{C}_M^{\prime }\left(x\right)& =& 2-2{\mathrm{e}}^{-2x+3}\\ & =& 2\left(1-{\mathrm{e}}^{-2x+3}\right)\end{array}$$

      Ainsi, $C_M^{\prime }$ est la fonction définie sur $\left]0;5\right]$ par $C_M^{\prime }\left(x\right)=2\left(1-{\mathrm{e}}^{-2x+3}\right)$.

      ---

   2. Résoudre dans $ℝ$ l'équation : $1-{\mathrm{e}}^{-2x+3}=0$ .

      Pour tout réel x, $$\begin{array}{llll}1-{\mathrm{e}}^{-2x+3}=0& \iff & {\mathrm{e}}^{-2x+3}=1& \\ & \iff & -2x+3=0& \left({\mathrm{e}}^0=1\right)\\ & \iff & x={\displaystyle \frac{3}{2}}& \end{array}$$

      Dans $ℝ$, l'équation $1-{\mathrm{e}}^{-2x+3}=0$ admet pour solution $x={\displaystyle \frac{3}{2}}$.

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   3. Résoudre dans $ℝ$ l'inéquation : $1-{\mathrm{e}}^{-2x+3}>0$ .

      Pour tout réel x, $$\begin{array}{llll}1-{\mathrm{e}}^{-2x+3}>0& \iff & -{\mathrm{e}}^{-2x+3}>-1& \\ & \iff & {\mathrm{e}}^{-2x+3}<1& \\ & \iff & -2x+3<0& \text{La fonction exponentielle est strictement croissante}\\ & \iff & -2x<-3& \\ & \iff & x>{\displaystyle \frac{3}{2}}& \end{array}$$

      L'ensemble des solutions de l'inéquation $1-{\mathrm{e}}^{-2x+3}>0$ est $S=\left]{\displaystyle \frac{3}{2}};+\infty \right[$.

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   4. En déduire le sens de variations de $C_M$ sur $\left]0;5\right]$.

      Les variations de la fonction $C_M$ se déduisent du signe de la dérivée $C_M^{\prime }$ sur $\left]0;5\right]$

      x	0			${\displaystyle \frac{3}{2}}$		5
      $C_M^{\prime }\left(x\right)$			−	$\underset{\mathbf{\left|}}{\overset{\mathbf{\right|}}{0}}$	+
      $C_M\left(x\right)$				$C_M\left({\displaystyle \frac{3}{2}}\right)$

      ---

4. Pour quelle production l'entreprise a-t-elle un coût moyen minimal et quel est ce coût en euros ?

   D'après les variations de la fonction $C_M$ , le coût moyen exprimé en milliers d'euros, est minimal pour $x={\displaystyle \frac{3}{2}}$ . Soit pour une production mensuelle de 150 articles.

   Or $$\begin{array}{lll}{C}_M\left({\displaystyle \frac{3}{2}}\right)& =& 2\times {\displaystyle \frac{3}{2}}+{\mathrm{e}}^{-2\times {\displaystyle \frac{3}{2}}+3}\\ & =& 3+{\mathrm{e}}^0\\ & =& 4\end{array}$$

   Le coût moyen minimal est de 4 000 € par centaines d'unités, atteint pour une production de 150 pièces.

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5. Chaque centaine d'articles est vendue 7 000 €. La recette totale pour x centaines d'articles est donnée, en admettant que toute la production soit vendue, par $R_T\left(x\right)=7x$ en milliers d'euros. Le bénéfice est donc défini par $B_T\left(x\right)=R_T\left(x\right)-C_T\left(x\right)$ .

   1. Ci-dessous, sont représentées les fonctions $C_T$ et $R_T$. Par lecture graphique déterminer :

      • le coût moyen minimal ;
      • l'intervalle dans lequel doit se situer la production x pour qu'il y ait un bénéfice positif de l'entreprise E ;
      • la production $x_0$ pour laquelle le bénéfice est maximal.

      On fera apparaître les constructions nécessaires.

      Graphiquement :

      Le coût moyen minimal est atteint pour une production de 1,5 centaines d'articles qui correspond à un coût total de 6 milliers d'euros. Soit un coût moyen par centaine d'articles de ${\displaystyle \frac{6}{\mathrm{1,5}}}=4$ milliers d'euros.

      Pour qu'il y ait un bénéfice positif de l'entreprise E, la production doit être comprise entre 0,6 et 3,5 centaines d'articles.
      Le profit est maximal pour un niveau de production mensuel de 2 centaines d'articles.

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      explications

      • coût moyen

        Soit $M\left(x;C_T\left(x\right)\right)$ ($M\ne O$) un point de la courbe représentative de la fonction coût total $C_T$.

        Le coefficient directeur de la droite (OM) est égal à : ${\displaystyle \frac{C_T\left(x\right)}{x}}=C_M\left(x\right)$.

        Graphiquement, le coût moyen de production est minimal pour un point M de la courbe représentative de la fonction coût total $C_T$ tel que le coefficient directeur de la droite (OM) soit le plus petit possible.
        Il s'agit donc de trouver un point M de la courbe représentative de la fonction coût total $C_T$ tel que l'angle $\widehat{xOM}$ entre l'axe des abscisses et la droite (OM) soit le plus petit possible.

        Sur le graphique, le nombre de centaines d'articles à produire pour obtenir un coût moyen minimal est 1,5 ce qui correspond un coût total de 6 milliers d'euros.

        Le coût moyen minimal par centaines d'unités est de 4 milliers d'euros.

      • Bénéfice

        Quand la recette est supérieure au coût total, l'entreprise réalise un bénéfice. Le profit se mesure par la distance verticale entre les deux courbes. Le profit est maximal lorsque cette distance est maximale.

        Pour maximiser son profit, l'entreprise compare le prix de vente au coût marginal. Tant que le prix de vente est supérieur au coût marginal, l'entreprise augmentera son profit en produisant davantage. Si, au contraire, le coût marginal est supérieur au prix de vente, la production d'une unité supplémentaire diminuera le bénéfice. Le niveau de production qui maximise le bénéfice est celui pour lequel le coût marginal est égal au prix de vente.

        Or, en un point de la courbe représentative de la fonction coût total $C_T$, le coût marginal est égal au coefficient directeur de la tangente à cette courbe. Le bénéfice est donc maximal en un point de la courbe $C_T$ où la tangente à la courbe est parallèle à la droite représentative de la fonction recette.

        Graphiquement, le bénéfice est maximal pour une production de deux centaines d'articles.

   2. Avec l'aide de votre calculatrice, affiner l'intervalle (à un article près) dans lequel doit se situer la production x pour qu'il y ait un bénéfice positif de l'entreprise E.

      Le bénéfice est la fonction définie sur $\left]0;5\right]$ par $$\begin{array}{lll}{B}_T\left(x\right)& =& R_T\left(x\right)-C_T\left(x\right)\\ & =& 7x-2x^2-x{\mathrm{e}}^{-2x+3}\end{array}$$

      Le tableau de valeurs de la fonction $B_T$ avec un pas de tabulation de 0,01 obtenue à la calculatrice est :

      X	Y1
      0,62	− 0,0325
      0,63	0,02687
      …	…
      3,49	0,00459
      3,5	− 0,0641

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      Pour qu'il y ait un bénéfice positif de l'entreprise E, la production doit être comprise entre 63 et 349 articles.

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