sujet : centres étrangers

Corrigé de l'exercice 2 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

1. Par lecture graphique, déterminer :

   1. $f\left(0\right)$ et $f\prime \left(0\right)$.

      La courbe passe par le point de coordonnées $\left(0;2\right)$ d'où $f\left(0\right)=2$.

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      Le nombre dérivé $f\prime \left(0\right)$ est égal au coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse 0 qui passe également par le point de coordonnées $\left(1;11\right)$. Donc le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse 0 est égal à : $${\displaystyle \frac{11-2}{1-0}}=9$$ d'où $f\prime \left(0\right)=9$.

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   2. $f\left(1\right)$ et $f\prime \left(1\right)$.

      La courbe passe par le point de coordonnées $\left(1;6\right)$ d'où $f\left(1\right)=6$.

      ---

      Au point d'abscisse 1 la tangente à la courbe est parallèle à l'axe des abscisses d'où $f\prime \left(1\right)=0$.

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   3. $f\left(2\right)$ et $f\prime \left(2\right)$.

      La courbe passe par le point de coordonnées $\left(2;4\right)$ d'où $f\left(2\right)=4$.

      ---

      Le nombre dérivé $f\prime \left(2\right)$ est égal au coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse 2 qui passe également par le point de coordonnées $\left(0;10\right)$ . Donc le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse 2 est égal à : $${\displaystyle \frac{10-4}{0-2}}=-3$$ d'où $f\prime \left(2\right)=-3$.

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   4. L'ensemble des réels x tels que $f\left(x\right)⩽x+2$ .

      Les réels x solutions de l'inéquation $f\left(x\right)⩽x+2$ sont les abscisses des points de la courbe situés sous la droite (d) d'équation $y=x+2$ ou à l'intersection.

      Ainsi, l'ensemble S des réels x solutions de l'inéquation $f\left(x\right)⩽x+2$ est $S=\left\{0\right\}\cup \left[2;4\right]$.

      ---

2. 1. Par lecture graphique, dresser le tableau de variations de f sur I ; on indiquera le signe de $f\prime \left(x\right)$.

      x	0		1		3		4
      $f\prime \left(x\right)$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+
      $f\left(x\right)$	2		6		2		6

   2. En déduire le tableau de variations de la fonction g définie sur $\left[0;4\right]$ par $g\left(x\right)=\ln \left[f\left(x\right)\right]$.

      g est la composée de la fonction f suivie de la fonction ln. Sur l'intervalle $\left[0;4\right]$ , la fonction f est définie et strictement positive. La fonction ln étant strictement croissante alors la fonction g a les mêmes variations que la fonction f. D'où le tableau de variations de g :

      x	0		1		3		4
      $g\left(x\right)$	$\ln \left(2\right)$		$\ln \left(6\right)$		$\ln \left(2\right)$		$\ln \left(6\right)$

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3. On appelle A l'aire du domaine hachuré exprimée en unités d'aire. Parmi les trois propositions suivantes, déterminer celle qui est exacte, en la justifiant par des arguments géométriques :
   a) $0⩽A⩽1$               b) $1⩽A⩽6$               c) $6⩽A⩽8$.

   L'aire A du domaine colorié est comprise entre l'aire du triangle MSQ et l'aire du trapèze MNPQ.

   Exprimée en unités d'aire, l'aire du triangle MSQ est égale à 3 et l'aire du trapèze MNPQ est égale à 6.

   Donc $$3⩽A⩽6$$

   Ainsi, la proposition b) $1⩽A⩽6$ est exacte

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4. On suppose que $f\left(x\right)=m{x}^3+n{x}^2+px+q$ , où m, n, p et q sont des réels.

   $f\left(x\right)=m{x}^3+n{x}^2+px+q$ d'où $f\prime \left(x\right)=3m{x}^2+2nx+p$.

   1. En utilisant les résultats de la question 1.a, déterminer p et q.

      D'après la question 1.a :

      • $f\left(0\right)=2$ d'où $q=2$.
      • $f\prime \left(0\right)=9$ d'où $p=9$.

      ---

      Ainsi, $f\left(x\right)=m{x}^3+n{x}^2+9x+2$ et $f\prime \left(x\right)=3m{x}^2+2nx+9$.

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   2. En utilisant les résultats de la question 1.b, déterminer m et n.

      D'après la question 1.b :

      • $f\left(1\right)=6$ d'où $m+n+9+2=6$ soit $m+n=-5$.
      • $f\prime \left(1\right)=0$ d'où $3m+2n+9=0$ soit $3m+2n=-9$.

      Ainsi, m et n sont solutions du système $$\begin{array}{lll}\{\begin{array}{rcl}m+n& =& -5\\ 3m+2n& =& -9\end{array}& \iff & \{\begin{array}{rcl}m& =& -n-5\\ 3m-2m-10& =& -9\end{array}\\ & \iff & \{\begin{array}{rcl}m& =& -n-5\\ m& =& 1\end{array}\\ & \iff & \{\begin{array}{rcl}-n-5& =& 1\\ m& =& 1\end{array}\\ & \iff & \{\begin{array}{rcl}n& =& -6\\ m& =& 1\end{array}\end{array}$$

      Ainsi, $f\left(x\right)=x^3-6x^2+9x+2$ et $f\prime \left(x\right)=3x^2-12x+9$.

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5. On admet que $f\left(x\right)=x^3-6x^2+9x+2$.

   1. Démontrer que les tangentes à la courbe aux points d'abscisses 0 et 4 sont parallèles.

      Le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse 0 est $f\prime \left(0\right)=9$.

      Le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse 4 est $f\prime \left(4\right)=3\times 4^2-12\times 4+9=9$.

      Les tangentes à la courbe aux points d'abscisses 0 et 4 ont le même coefficient directeur, elles sont donc parallèles.

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   2. Calculer, en unités d'aire, l'aire A du domaine hachuré.

      Dans la question 1.d nous avons établi graphiquement que la droite (d) d'équation $y=x+2$ est au dessus de la courbe représentative de la fonction f sur l'intervalle $\left[2;4\right]$ . Par conséquent, exprimée en unités d'aire, l'aire A du domaine colorié est : $${\displaystyle {\int }_2^4\left(x+2\right)\mathrm{d}x}-{\displaystyle {\int }_2^{4}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$$

      Montrons que la droite (d) d'équation $y=x+2$ est au dessus de la courbe représentative de la fonction f sur l'intervalle $\left[2;4\right]$ en étudiant le signe de : $$\begin{array}{lll}x+2-f\left(x\right)& =& x+2-\left(x^3-6x^2+9x+2\right)\\ & =& x+2-x^3+6x^2-9x-2\\ & =& -x^3+6x^2-8x\\ & =& x\left(-x^2+6x-8\right)\end{array}$$

      Or sur l'intervalle $\left[2;4\right]$, le produit $x\left(-x^2+6x-8\right)$ est du même signe que le polynôme du second degré $-x^2+6x-8$ avec $a=-1$, $b=6$ et $c=-8$

      $\mathrm{\Delta }=6^2-4\times \left(-1\right)\times \left(-8\right)=4$. $\mathrm{\Delta }>0$ les racines du trinôme sont : $$\begin{array}{lll}{x}_1={\displaystyle \frac{-6-2}{-2}}=4& \text{ et }& x_2={\displaystyle \frac{-6+2}{-2}}=2\end{array}$$

      Le trinôme est du signe de a à l'extérieur des racines et du signe contraire entre les racines d'où $x\left(-x^2+6x-8\right)⩾0$ sur $\left[2;4\right]$

      Ainsi, la droite (d) d'équation $y=x+2$ est au dessus de la courbe représentative de la fonction f sur l'intervalle $\left[2;4\right]$ . Par conséquent, exprimée en unités d'aire, l'aire A du domaine colorié est : $$\begin{array}{lll}{\displaystyle {\int }_2^4\left(x+2\right)\mathrm{d}x}-{\displaystyle {\int }_2^{4}f\left(x\right)\mathrm{d}x}& =& {\displaystyle {\int }_2^4\left(x+2-f\left(x\right)\right)\mathrm{d}x}\\ & =& {\displaystyle {\int }_2^4\left(-x^3+6x^2-8x\right)\mathrm{d}x}\\ & =& {\displaystyle {\left[-{\displaystyle \frac{x^4}{4}}+{\displaystyle \frac{6x^3}{3}}-{\displaystyle \frac{8x^2}{2}}\right]}_2^4\mathrm{d}x}\\ & =& {\displaystyle {\left[-{\displaystyle \frac{x^4}{4}}+2x^3-4x^2\right]}_2^4\mathrm{d}x}\\ & =& \left(-{\displaystyle \frac{4^4}{4}}+2\times 4^3-4\times 4^2\right)-\left(-{\displaystyle \frac{2^4}{4}}+2\times 2^3-4\times 2^2\right)\\ & =& 4\end{array}$$

      L'aire A du domaine colorié est égale à 4 unités d'aire.

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