Baccalauréat Avril 2007 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Pondichery

correction de l'exercice 1 : commun à tous les candidats

Dans cet exercice, on ne demande aucune justification.
Barème : Une réponse exacte rapporte 0,5 point. Une réponse inexacte enlève 0,25 point. Une question sans réponse ne rapporte et n'enlève aucun point. Si le total des points est négatif la note attribuée à l'exercice est ramenée à 0.

partie a :

Dans cette partie, pour chaque question, indiquer sur votre copie le numéro de la question et préciser en toutes lettres, sans justifier votre choix, vrai ou faux ou on ne peut pas répondre.

On connaît le tableau de variations d'une fonction f définie et dérivable sur Df=-11+ :

x-   1  3 +

fx

− 2

  fonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

+

 

-

fonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

5

fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

1

1.  La droite d'équation x=-2 est asymptote à la représentation graphique de f.

La fonction f est définie en − 2 donc, la droite d'équation x=-2 n'est pas asymptote à la représentation graphique de f .

Attention, limx-fx=-2 signifie que la droite d'équation y=-2 est asymptote à la représentation graphique de f en -.

  •  vrai

  • faux

  •  on ne peut pas répondre

2.  L'équation fx=2 admet exactement deux solutions dans Df.

Sur chacun des intervalles -1, 13 et 3+ , la fonction f est continue et strictement monotone d'après le théorème de la valeur intermédiaire :Si une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle ab, alors pour tout réel k compris entre fa et fb, l'équation fx=k admet une solution unique α située dans l'intervalle ab.

  • 2-2+ alors l'équation fx=2 admet exactement une solution dans -1
  • 2-5 alors l'équation fx=2 admet exactement une solution dans 13
  • 251 alors l'équation fx=2 admet exactement une solution dans 3+

Par conséquent, l'équation fx=2 admet exactement trois solutions dans Df.

  •  vrai

  • faux

  •  on ne peut pas répondre

3.  Pour tout x appartenant à 13, fx>0
    ( f désigne la fonction dérivée de f sur Df ).

f est une fonction dérivable et strictement croissante sur 13 alors, pour tout réel x de l'intervalle 13, fx0.

fx peut être nul en un ou plusieurs points comme on peut le voir ci-dessous avec la courbe Cf représentative d'une fonction f dérivable et strictement croissante sur 13 avec f2=0 et f3=0

Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  •  vrai

  •  faux

  • on ne peut pas répondre

4.  Toute primitive de f sur 38 est décroissante.

Dire que F est une primitive de f sur Df, signifie que pour tout réel x de Df, Fx=fx.

Or d'après le tableau de variation sur 381<fx<5 donc fx>0 . Par conséquent, les primitives de f sur 38 sont strictement croissantes sur cet intervalle.

  •  vrai

  • faux

  •  on ne peut pas répondre

5.  La fonction x1fx est décroissante sur 3+.

D'après le théorème sur les variations des fonctions composées,:I et J sont deux intervalles. f est une fonction strictement monotone et définie sur I et à valeurs dans J. g est une fonction définie et strictement monotone sur J.
— Si f et g ont le même sens de variation ( f sur I et g sur J ), alors gf est strictement croissante sur I.
— Si f et g ont des sens de variation différents ( f sur I et g sur J ), alors gf est strictement décroissante sur I.
les fonctions f et 1f ont des variations contraires sur tout intervalle où la fonction f ne s'annule pas.

Or sur 3+ la fonction f est strictement décroissante et fx>1.Donc la fonction x1fx est strictement croissante sur cet intervalle.

  •  vrai

  • faux

  •  on ne peut pas répondre

partie b :

Dans cette partie, pour chaque question, trois propositions sont formulées. Une seule d'entre elles convient. Indiquer sur votre copie le numéro de la question et recopier la proposition qui vous semble exacte, sans justifier votre choix.

Soit la fonction g définie par gx=2exex-1 et C sa courbe représentative dans un repère du plan.

6.  L'ensemble de définition Dg de g est égal à :

La fonction g est définie pour tout réel x tel que ex-10ex1x0

  • a.  0+

  • b.  \0

  • c.   \1

7.  L'équation gx=3 admet pour solution :

gx=32exex-1=32ex-3ex-1ex-1=03-exex-1=0

Ainsi, les solutions de l'équation gx=3 sont les réels x non nuls solutions de l'équation 3-ex=0ex=3x=ln3

  • a.  e3

  • b.  ln3

  • c.   Aucune solution

8.  La limite de g en + est :

limx+ex=+ et limx+ex-1=+. Nous sommes en présence de la forme indéterminée

Or pour tout réel x2exex-1=2exex1-1ex=21-1ex

D'autre part, limx+1ex=0

Donc limx+gx=limx+21-1ex=2

  • a.  − 1

  • b.  +

  • c.  2


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