Baccalauréat Avril 2007 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Pondichery

correction de l'exercice 1 : commun à tous les candidats

Dans cet exercice, on ne demande aucune justification.
Barème : Une réponse exacte rapporte 0,5 point. Une réponse inexacte enlève 0,25 point. Une question sans réponse ne rapporte et n'enlève aucun point. Si le total des points est négatif la note attribuée à l'exercice est ramenée à 0.

partie a :

Dans cette partie, pour chaque question, indiquer sur votre copie le numéro de la question et préciser en toutes lettres, sans justifier votre choix, vrai ou faux ou on ne peut pas répondre.

On connaît le tableau de variations d'une fonction f définie et dérivable sur $D_{f} =] - \infty; 1 [\cup] 1; + \infty [$ :

x	$- \infty$				1			3		$+ \infty$
$f (x)$	− 2			$+ \infty$		$- \infty$		5		1

1. La droite d'équation $x = - 2$ est asymptote à la représentation graphique de f. La fonction f est définie en − 2 donc, la droite d'équation $x = - 2$ n'est pas asymptote à la représentation graphique de f . Attention, $\lim_{x \to - \infty} f (x) = - 2$ signifie que la droite d'équation $y = - 2$ est asymptote à la représentation graphique de f en $- \infty$ .	vrai faux on ne peut pas répondre
2. L'équation $f (x) = 2$ admet exactement deux solutions dans $D_{f}$ . Sur chacun des intervalles $] - \infty; 1 [$ , $] 1; 3]$ et $[3; + \infty [$ , la fonction f est continue et strictement monotone d'après le théorème de la valeur intermédiaire :Si une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle $[a; b]$ , alors pour tout réel k compris entre $f (a)$ et $f (b)$ , l'équation $f (x) = k$ admet une solution unique α située dans l'intervalle $[a; b]$ . $2 \in] - 2; + \infty [$ alors l'équation $f (x) = 2$ admet exactement une solution dans $] - \infty; 1 [$ $2 \in] - \infty; 5]$ alors l'équation $f (x) = 2$ admet exactement une solution dans $] 1; 3]$ $2 \in [5; 1 [$ alors l'équation $f (x) = 2$ admet exactement une solution dans $[3; + \infty [$ Par conséquent, l'équation $f (x) = 2$ admet exactement trois solutions dans $D_{f}$ .	vrai faux on ne peut pas répondre
3. Pour tout x appartenant à $] 1; 3 [$ , $f' (x) > 0$ ( $f'$ désigne la fonction dérivée de f sur $D_{f}$ ). f est une fonction dérivable et strictement croissante sur $] 1; 3 [$ alors, pour tout réel x de l'intervalle $] 1; 3 [$ , $f' (x) ⩾ 0$ . $f' (x)$ peut être nul en un ou plusieurs points comme on peut le voir ci-dessous avec la courbe $C_{f}$ représentative d'une fonction f dérivable et strictement croissante sur $] 1; 3 [$ avec $f' (2) = 0$ et $f' (3) = 0$	vrai faux on ne peut pas répondre
4. Toute primitive de f sur $[3; 8]$ est décroissante. Dire que F est une primitive de f sur $D_{f}$ , signifie que pour tout réel x de $D_{f}$ , $F' (x) = f (x)$ . Or d'après le tableau de variation sur $[3; 8]$ $1 < f (x) < 5$ donc $f (x) > 0$ . Par conséquent, les primitives de f sur $[3; 8]$ sont strictement croissantes sur cet intervalle.	vrai faux on ne peut pas répondre
5. La fonction $x ⟼ \frac{1}{f (x)}$ est décroissante sur $[3; + \infty [$ . D'après le théorème sur les variations des fonctions composées,:I et J sont deux intervalles. f est une fonction strictement monotone et définie sur I et à valeurs dans J. g est une fonction définie et strictement monotone sur J. — Si f et g ont le même sens de variation ( f sur I et g sur J ), alors $g \circ f$ est strictement croissante sur I. — Si f et g ont des sens de variation différents ( f sur I et g sur J ), alors $g \circ f$ est strictement décroissante sur I. les fonctions f et $\frac{1}{f}$ ont des variations contraires sur tout intervalle où la fonction f ne s'annule pas. Or sur $[3; + \infty [$ la fonction f est strictement décroissante et $f (x) > 1$ .Donc la fonction $x ⟼ \frac{1}{f (x)}$ est strictement croissante sur cet intervalle.	vrai faux on ne peut pas répondre

partie b :

Dans cette partie, pour chaque question, trois propositions sont formulées. Une seule d'entre elles convient. Indiquer sur votre copie le numéro de la question et recopier la proposition qui vous semble exacte, sans justifier votre choix.

Soit la fonction g définie par $g (x) = \frac{2 e^{x}}{e^{x} - 1}$ et C sa courbe représentative dans un repère du plan.

6. L'ensemble de définition $D_{g}$ de g est égal à :

La fonction g est définie pour tout réel x tel que $\begin{array}{l} e^{x} - 1 \neq 0 & \Leftrightarrow & e^{x} \neq 1 \\ \Leftrightarrow & x \neq 0 \end{array}$

a. $] 0; + \infty [$
b. $ℝ \ {0}$
c. $ℝ \ {1}$

7. L'équation $g (x) = 3$ admet pour solution :

$\begin{array}{l} g (x) = 3 & \Leftrightarrow & \frac{2 e^{x}}{e^{x} - 1} = 3 \\ \Leftrightarrow & \frac{2 e^{x} - 3 (e^{x} - 1)}{e^{x} - 1} = 0 \\ \Leftrightarrow & \frac{3 - e^{x}}{e^{x} - 1} = 0 \end{array}$

Ainsi, les solutions de l'équation $g (x) = 3$ sont les réels x non nuls solutions de l'équation $\begin{array}{l} 3 - e^{x} = 0 & \Leftrightarrow & e^{x} = 3 \\ \Leftrightarrow & x = \ln 3 \end{array}$

a. $e^{3}$
b. $\ln 3$
c. Aucune solution

8. La limite de g en $+ \infty$ est :

$\lim_{x \to + \infty} e^{x} = + \infty$ et $\lim_{x \to + \infty} e^{x} - 1 = + \infty$ . Nous sommes en présence de la forme indéterminée $\frac{\infty}{\infty}$

Or pour tout réel x $\begin{matrix} \frac{2 e^{x}}{e^{x} - 1} & = & \frac{2 e^{x}}{e^{x} (1 - \frac{1}{e^{x}})} & = & \frac{2}{1 - \frac{1}{e^{x}}} \end{matrix}$

D'autre part, $\lim_{x \to + \infty} \frac{1}{e^{x}} = 0$

Donc $\lim_{x \to + \infty} g (x) = \lim_{x \to + \infty} \frac{2}{1 - \frac{1}{e^{x}}} = 2$

a. − 1
b. $+ \infty$
c. 2

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