Baccalauréat Avril 2007 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Pondichery

Corrigé de l'exercice 2 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Une entreprise de services d'une ville cherche à modéliser la consommation des ménages sur les dernières années.
Le rang x1=1 est donné pour l'année 1998. La consommation est exprimée en milliers d'euros.

Année 19982000200120022004
Rang de l'année xi13457
Consommation en milliers d'euros yi28,5355270,5100,5
  1. Représenter le nuage de points Pxiyi dans un repère orthogonal du plan (on prendra 1 cm comme unité en abscisses et 1 cm pour 10 000 € en ordonnées).

    Nuage de points : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  2. Déterminer les coordonnées du point moyen G de ce nuage ; le placer dans le repère précédent.

    Les coordonnées du point moyen sont : xG=1+3+4+5+75=4etyG=28,5+35+52+70,5+100,55=57,3

    Le point moyen G a pour coordonnées G457,3


  3. On réalise un ajustement affine de ce nuage par la droite D d'équation y=12,5x+b qui passe par le point G.

    1. Déterminer la valeur de b.

      La droite D passe par le point G alors les coordonnées du point G vérifient l'équation de la droite D. Donc b est solution de l'équation 12,5×4+b=57,3b=57,3-50b=7,3

      La droite D a pour équation y=12,5x+7,3.


    2. Tracer la droite D dans le repère précédent.

      Il suffit de tracer la droite passant par le point G et par le point de coordonnées 07,3.

  4. Déterminer, à l'aide de l'ajustement précédent, la consommation estimée des ménages de cette ville en 2005.

    Le rang de l'année 2005 est 8 et 12,5×8+7,3=107,3

    Avec cet ajustement, la consommation estimée des ménages de cette ville en 2005 est de 107,3 milliers d'euros.


  5. En réalité, un relevé récent a permis de constater qu'en 2005 la consommation réelle des ménages de cette ville était de y8=140 000.
    Déterminer, en pourcentage, l'erreur commise par l'estimation précédente par rapport à la valeur exacte (on donnera un résultat à l'aide d'un nombre entier en effectuant un arrondi).

    L'erreur commise par l'estimation précédente par rapport à la valeur exacte est de 140-107,31400,2336

    La consommation des ménages a été sous évaluée avec une erreur d'environ 23%.


  6. Un nouvel ajustement de type exponentiel semble alors plus adapté.

    1. Recopier et compléter le tableau suivant sachant que z=lny. Les résultats seront arrondis au centième.

      xi134578
      zi=lnyi3,35ln353,56ln523,95ln70,54,26ln100,54,614,94
    2. Déterminer l'équation réduite de la droite de régression de z en x obtenue par la méthode des moindres carrés à l'aide de la calculatrice ; cette équation est de la forme z=cx+d ; on donnera les arrondis des coefficients c et d à 10-2.

      Une équation de la droite de régression de z en x obtenue à l'aide de la calculatrice (coefficients arrondis au centième) est : z=0,23x+3,02


    3. En déduire que : y=20,49e0,23x.

      Par définition, pour tout réel y>0z=lnyy=ez d'où y=e0,23x+3,02y=e0,23x×e3,02

      Or l'arrondi à 10−2 près de e3,02 est égal à 20,49.

      Ainsi, l'ajustement exponentiel du nuage est la courbe d'équation y=20,49e0,23x


    4. Estimer alors, à l'aide de ce nouvel ajustement, la consommation des ménages de cette ville en 2007 à 100 € près.

      Calculons à l'aide de ce nouvel ajustement, la consommation des ménages de cette ville en 2007.

      Le rang de l'année 2007 est 10 et : 20,49×e0,23×10204,371

      À 100 € près, l'estimation de la consommation des ménages de cette ville en 2007 est de 204 400 €.



Rechercher des exercices regoupés par thème


[ Accueil ]


Les documents présentés ne sont pas libres de droits. Vous pouvez les télécharger et diffuser (en indiquant la provenance) à condition de ne pas en faire un usage commercial.