Une entreprise de services d'une ville cherche à modéliser la consommation des ménages sur les dernières années.
Le rang est donné pour l'année 1998. La consommation est exprimée en milliers d'euros.
Année | 1998 | 2000 | 2001 | 2002 | 2004 |
Rang de l'année | 1 | 3 | 4 | 5 | 7 |
Consommation en milliers d'euros | 28,5 | 35 | 52 | 70,5 | 100,5 |
Représenter le nuage de points dans un repère orthogonal du plan (on prendra 1 cm comme unité en abscisses et 1 cm pour 10 000 € en ordonnées).
Déterminer les coordonnées du point moyen G de ce nuage ; le placer dans le repère précédent.
Les coordonnées du point moyen sont :
Le point moyen G a pour coordonnées
On réalise un ajustement affine de ce nuage par la droite D d'équation qui passe par le point G.
Déterminer la valeur de b.
La droite D passe par le point G alors les coordonnées du point G vérifient l'équation de la droite D. Donc b est solution de l'équation
La droite D a pour équation .
Tracer la droite D dans le repère précédent.
Il suffit de tracer la droite passant par le point G et par le point de coordonnées .
Déterminer, à l'aide de l'ajustement précédent, la consommation estimée des ménages de cette ville en 2005.
Le rang de l'année 2005 est 8 et
Avec cet ajustement, la consommation estimée des ménages de cette ville en 2005 est de 107,3 milliers d'euros.
En réalité, un relevé récent a permis de constater qu'en 2005 la consommation réelle des ménages de cette ville était de .
Déterminer, en pourcentage, l'erreur commise par l'estimation précédente par rapport à la valeur exacte (on donnera un résultat à l'aide d'un nombre entier en effectuant un arrondi).
L'erreur commise par l'estimation précédente par rapport à la valeur exacte est de
La consommation des ménages a été sous évaluée avec une erreur d'environ 23%.
Un nouvel ajustement de type exponentiel semble alors plus adapté.
Recopier et compléter le tableau suivant sachant que . Les résultats seront arrondis au centième.
1 | 3 | 4 | 5 | 7 | 8 | |
3,35 | 4,94 |
Déterminer l'équation réduite de la droite de régression de z en x obtenue par la méthode des moindres carrés à l'aide de la calculatrice ; cette équation est de la forme ; on donnera les arrondis des coefficients c et d à .
Une équation de la droite de régression de z en x obtenue à l'aide de la calculatrice (coefficients arrondis au centième) est :
En déduire que : .
Par définition, pour tout réel d'où
Or l'arrondi à 10−2 près de est égal à 20,49.
Ainsi, l'ajustement exponentiel du nuage est la courbe d'équation
Estimer alors, à l'aide de ce nouvel ajustement, la consommation des ménages de cette ville en 2007 à 100 € près.
Calculons à l'aide de ce nouvel ajustement, la consommation des ménages de cette ville en 2007.
Le rang de l'année 2007 est 10 et :
À 100 € près, l'estimation de la consommation des ménages de cette ville en 2007 est de 204 400 €.
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