Baccalauréat Avril 2007 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Pondichery

Corrigé de l'exercice 2 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Une entreprise de services d'une ville cherche à modéliser la consommation des ménages sur les dernières années.
Le rang x1=1 est donné pour l'année 1998. La consommation est exprimée en milliers d'euros.

Année 19982000200120022004
Rang de l'année xi13457
Consommation en milliers d'euros yi28,5355270,5100,5
  1. Représenter le nuage de points P(xi;yi) dans un repère orthogonal du plan (on prendra 1 cm comme unité en abscisses et 1 cm pour 10 000 € en ordonnées).

    Nuage de points : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  2. Déterminer les coordonnées du point moyen G de ce nuage ; le placer dans le repère précédent.

    Les coordonnées du point moyen sont : xG=1+3+4+5+75=4etyG=28,5+35+52+70,5+100,55=57,3

    Le point moyen G a pour coordonnées G(4;57,3)


  3. On réalise un ajustement affine de ce nuage par la droite D d'équation y=12,5x+b qui passe par le point G.

    1. Déterminer la valeur de b.

      La droite D passe par le point G alors les coordonnées du point G vérifient l'équation de la droite D. Donc b est solution de l'équation 12,5×4+b=57,3b=57,3-50b=7,3

      La droite D a pour équation y=12,5x+7,3.


    2. Tracer la droite D dans le repère précédent.

      Il suffit de tracer la droite passant par le point G et par le point de coordonnées (0;7,3).

  4. Déterminer, à l'aide de l'ajustement précédent, la consommation estimée des ménages de cette ville en 2005.

    Le rang de l'année 2005 est 8 et 12,5×8+7,3=107,3

    Avec cet ajustement, la consommation estimée des ménages de cette ville en 2005 est de 107,3 milliers d'euros.


  5. En réalité, un relevé récent a permis de constater qu'en 2005 la consommation réelle des ménages de cette ville était de y8=140 000.
    Déterminer, en pourcentage, l'erreur commise par l'estimation précédente par rapport à la valeur exacte (on donnera un résultat à l'aide d'un nombre entier en effectuant un arrondi).

    L'erreur commise par l'estimation précédente par rapport à la valeur exacte est de 140-107,31400,2336

    La consommation des ménages a été sous évaluée avec une erreur d'environ 23%.


  6. Un nouvel ajustement de type exponentiel semble alors plus adapté.

    1. Recopier et compléter le tableau suivant sachant que z=lny. Les résultats seront arrondis au centième.

      xi134578
      zi=lnyi3,35ln353,56ln523,95ln70,54,26ln100,54,614,94
    2. Déterminer l'équation réduite de la droite de régression de z en x obtenue par la méthode des moindres carrés à l'aide de la calculatrice ; cette équation est de la forme z=cx+d ; on donnera les arrondis des coefficients c et d à 10-2.

      Une équation de la droite de régression de z en x obtenue à l'aide de la calculatrice (coefficients arrondis au centième) est : z=0,23x+3,02


    3. En déduire que : y=20,49e0,23x.

      Par définition, pour tout réel y>0z=lnyy=ez d'où y=e0,23x+3,02y=e0,23x×e3,02

      Or l'arrondi à 10−2 près de e3,02 est égal à 20,49.

      Ainsi, l'ajustement exponentiel du nuage est la courbe d'équation y=20,49e0,23x


    4. Estimer alors, à l'aide de ce nouvel ajustement, la consommation des ménages de cette ville en 2007 à 100 € près.

      Calculons à l'aide de ce nouvel ajustement, la consommation des ménages de cette ville en 2007.

      Le rang de l'année 2007 est 10 et : 20,49×e0,23×10204,371

      À 100 € près, l'estimation de la consommation des ménages de cette ville en 2007 est de 204 400 €.



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