Baccalauréat Avril 2007 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Pondichery

correction de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

On considère la fonction f définie sur l'intervalle 0+ par fx=5lnxx+3.
On note Cf sa courbe représentative dans un repère orthogonal du plan.

    1. Déterminer la limite de f en 0 ; en donner une interprétation graphique.

      limx0+lnx=- et limx0+1x=+ donc limx0+lnxx=- d'où limx0+5lnxx+3=-

      Ainsi, limx0+fx=-. La courbe Cf admet une asymptote verticale d'équation x=0.


    2. Déterminer la limite de f en + ; en donner une interprétation graphique.

      D'après le cours, limx+lnxx=0 donc limx+5lnxx+3=3

      Ainsi, limx+fx=3. La courbe Cf admet une asymptote horizontale d'équation y=3 en +.


    1. Calculer fxf est la fonction dérivée de f, puis étudier son signe.

      f est dérivable sur 0+ et f=5uv+3 avec : ux=lnxd'oùux=1xetvx=xd'oùvx=1

      Donc f=5×uv-uvv2

      Soit pour tout réel x de l'intervalle 0+fx=5×1x×x-lnx×1x2=5×1-lnxx2

      Ainsi, pour tout réel x de l'intervalle 0+, fx=51-lnxx2.


      étude du signe de la dérivée

      Pour tout réel x de l'intervalle 0+, x2>0. Donc le signe de fx est celui de 1-lnx.

      Or 1-lnx0lnx1xe

      D'où le tableau du signe de fx

      x0 e +
      Signe de fx+0|| 

    2. En déduire le tableau de variation de la fonction f . On y indiquera les limites aux bornes de l'intervalle de définition de f ainsi que la valeur exacte de fe.

      fe=5×lnee+3=5e+3

      Tableau des variations de la fonction f

      x0  e +
      fx +0|| 
      fx

      -

      fonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

      5e+3

      fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

      3


    1. Déterminer une primitive de f sur 0+. On pourra remarquer que fx=5ux×ux+3 avec ux à préciser.

      Pour tout réel x de l'intervalle 0+, posons ux=lnx d'où ux=1x. Alors, fx=5ux×ux+3.

      Par conséquent, une primitive de la fonction f est la fonction F définie sur l'intervalle 0+ par Fx=52ux2+3x

      Ainsi, une primitive de f est la fonction F définie sur 0+ par Fx=52lnx2+3x


    2. En déduire la valeur exacte de I=24ftdt sous la forme aln22+b avec a et b deux réels à déterminer.

      I=24ftdt=52lnx2+3x24=52ln42+3×4-52ln22+3×2=522ln22+12-52ln22-6=10ln22-52ln22+6=152ln22+6

      Ainsi, I=152ln22+6


    1. Préciser le signe de f sur l'intervalle 24.

      D'après les variations de la fonction f :

      • Sur l'intervalle 2ef est strictement croissante d'où pour tout réel x appartenant à 2ef2fxfe

        Or f2=5×ln22+34,73. Donc sur l'intervalle 2e, fx>0

      • Sur l'intervalle e4f est strictement décroissante d'où pour tout réel x appartenant à e4f4fxfe

        Or f4=5×ln44+34,73. Donc sur l'intervalle e4, fx>0

      Ainsi, pour tout réel x appartenant à 24, fx>0


    2. Donner une interprétation graphique de I.

      Sur l'intervalle 24, la fonction f est continue et positive alors, d'après le lien entre l'intégrale et aire :Soit a et b deux réels tels que ab, f une fonction définie et continue sur l'intervalle ab et 𝒞 sa courbe représentative dans un repère orthogonal (O;ı,ȷ) .
      Si, pour tout réel x de l'intervalle ab,  fx0, alors abfxdx est l'aire, en unités d'aire, du domaine compris entre la courbe 𝒞, l'axe des abscisses et les droites d'équation x=a et x=b.

      L'intégale I=24ftdt mesure en unités d'aire, l'aire du domaine délimité par la courbe Cf, l'axe des abscisses et les droites d'équation x=2 et x=4.


      Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  1. On admet que le bénéfice, en milliers d'euros, que réalise une entreprise lorsqu'elle fabrique x milliers de pièces est égal à fx.
    En utilisant les résultats précédents, déterminer la valeur moyenne du bénéfice lorsque la production varie entre 2 000 et 4 000 pièces. On donnera une valeur approchée de ce bénéfice à 100 euros près.

    Soit μ la valeur moyenne de la fonction f sur [2;4] d'après la définition de la valeur moyenne d'une fonction continue sur un intervalle :Soit I un intervalle, f une fonction continue sur I et a, b deux réels appartenant à I tels que a<b.
    On appelle valeur moyenne de la fonction f sur ab, le nombre :μ=1b-aabfxdx

    μ=14-224ftdt=12152ln22+6=154ln22+34,8017

    Arrondie à 100 euros près, la valeur moyenne du bénéfice lorsque la production varie entre 2 000 et 4 000 pièces est de 4 800 €.



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