sujet : Pondichery

correction de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

On considère la fonction f définie sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)=5{\displaystyle \frac{\ln x}{x}}+3$.
On note $C_f$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal du plan.

1. 1. Déterminer la limite de f en 0 ; en donner une interprétation graphique.

      $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\ln x=-\infty$ et $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{\displaystyle \frac{1}{x}}=+\infty$ donc $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{\displaystyle \frac{\ln x}{x}}=-\infty$ d'où $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }5{\displaystyle \frac{\ln x}{x}}+3=-\infty$

      Ainsi, $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f\left(x\right)=-\infty$. La courbe $C_f$ admet une asymptote verticale d'équation $x=0$.

      ---

   2. Déterminer la limite de f en $+\infty$ ; en donner une interprétation graphique.

      D'après le cours, $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{\ln x}{x}}=0$ donc $\underset{x\to +\infty }{\lim }5{\displaystyle \frac{\ln x}{x}}+3=3$

      Ainsi, $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=3$. La courbe $C_f$ admet une asymptote horizontale d'équation $y=3$ en $+\infty$.

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2. 1. Calculer $f\prime \left(x\right)$ où f ′ est la fonction dérivée de f, puis étudier son signe.

      f est dérivable sur $\left]0;+\infty \right[$ et $f=5{\displaystyle \frac{u}{v}}+3$ avec : $\begin{array}{llll}& u\left(x\right)=\ln x& \text{d'où}& u\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{x}}\\ \text{et}& v\left(x\right)=x& \text{d'où}& v\prime \left(x\right)=1\end{array}$

      Donc $f\prime =5\times {\displaystyle \frac{u\prime v-uv\prime }{v^2}}$

      Soit pour tout réel x de l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$$$\begin{array}{lllll}f\prime \left(x\right)& =& 5\times {\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{x}}\times x-\left(\ln x\right)\times 1}{x^2}}& =& 5\times {\displaystyle \frac{1-\ln x}{x^2}}\end{array}$$

      Ainsi, pour tout réel x de l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$, $f\prime \left(x\right)=5{\displaystyle \frac{1-\ln x}{x^2}}$.

      ---

      étude du signe de la dérivée

      Pour tout réel x de l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$, $x^2>0$. Donc le signe de $f\prime \left(x\right)$ est celui de $1-\ln x$.

      Or $$\begin{array}{lllll}1-\ln x⩽0& \iff & \ln x⩾1& \iff & x⩾\mathrm{e}\end{array}$$

      D'où le tableau du signe de $f\prime \left(x\right)$

      x	0		e		$+\infty$
      Signe de $f\prime \left(x\right)$		+	$\underset{\mathbf{\left|}}{\overset{\mathbf{\right|}}{0}}$	−

      ---

   2. En déduire le tableau de variation de la fonction f . On y indiquera les limites aux bornes de l'intervalle de définition de f ainsi que la valeur exacte de $f\left(\mathrm{e}\right)$.

      $\begin{array}{ccccc}f\left(\mathrm{e}\right)& =& 5\times {\displaystyle \frac{\ln \mathrm{e}}{\mathrm{e}}}+3& =& {\displaystyle \frac{5}{\mathrm{e}}}+3\end{array}$

      Tableau des variations de la fonction f

      x	0			e		$+\infty$
      $f\prime \left(x\right)$			+	$\underset{\mathbf{\left|}}{\overset{\mathbf{\right|}}{0}}$	−
      $f\left(x\right)$		$-\infty$		${\displaystyle \frac{5}{\mathrm{e}}}+3$		3

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3. 1. Déterminer une primitive de f sur $\left]0;+\infty \right[$. On pourra remarquer que $f\left(x\right)=5u\prime \left(x\right)\times u\left(x\right)+3$ avec $u\left(x\right)$ à préciser.

      Pour tout réel x de l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$, posons $u\left(x\right)=\ln x$ d'où $u\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{x}}$. Alors, $f\left(x\right)=5u\prime \left(x\right)\times u\left(x\right)+3$.

      Par conséquent, une primitive de la fonction f est la fonction F définie sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ par $$F\left(x\right)={\displaystyle \frac{5}{2}}{\left(u\left(x\right)\right)}^2+3x$$

      Ainsi, une primitive de f est la fonction F définie sur $\left]0;+\infty \right[$ par $F\left(x\right)={\displaystyle \frac{5}{2}}{\left(\ln x\right)}^2+3x$

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   2. En déduire la valeur exacte de $\mathrm{I}={\displaystyle {\int }_2^{4}f\left(t\right)\mathrm{d}t}$ sous la forme $a{\left(\ln 2\right)}^2+b$ avec a et b deux réels à déterminer.

      $$\begin{array}{lllll}\mathrm{I}& =& {\displaystyle {\int }_2^{4}f\left(t\right)\mathrm{d}t}& =& {\displaystyle {\left[{\displaystyle \frac{5}{2}}{\left(\ln x\right)}^2+3x\right]}_2^4}\\ & & & =& \left({\displaystyle \frac{5}{2}}{\left(\ln 4\right)}^2+3\times 4\right)-\left({\displaystyle \frac{5}{2}}{\left(\ln 2\right)}^2+3\times 2\right)\\ & & & =& {\displaystyle \frac{5}{2}}{\left(2\ln 2\right)}^2+12-{\displaystyle \frac{5}{2}}{\left(\ln 2\right)}^2-6\\ & & & =& 10{\left(\ln 2\right)}^2-{\displaystyle \frac{5}{2}}{\left(\ln 2\right)}^2+6\\ & & & =& {\displaystyle \frac{15}{2}}{\left(\ln 2\right)}^2+6\end{array}$$

      Ainsi, $\mathrm{I}={\displaystyle \frac{15}{2}}{\left(\ln 2\right)}^2+6$

      ---

4. 1. Préciser le signe de f sur l'intervalle $\left[2;4\right]$.

      D'après les variations de la fonction f :

      • Sur l'intervalle $\left[2;\mathrm{e}\right]$f est strictement croissante d'où pour tout réel x appartenant à $\left[2;\mathrm{e}\right]$$$f\left(2\right)⩽f\left(x\right)⩽f\left(\mathrm{e}\right)$$

        Or $\begin{array}{ccccc}f\left(2\right)& =& 5\times {\displaystyle \frac{\ln 2}{2}}+3& \approx & \mathrm{4,73}\end{array}$. Donc sur l'intervalle $\left[2;\mathrm{e}\right]$, $f\left(x\right)>0$

      • Sur l'intervalle $\left[\mathrm{e};4\right]$f est strictement décroissante d'où pour tout réel x appartenant à $\left[\mathrm{e};4\right]$$$f\left(4\right)⩽f\left(x\right)⩽f\left(\mathrm{e}\right)$$

        Or $\begin{array}{ccccc}f\left(4\right)& =& 5\times {\displaystyle \frac{\ln 4}{4}}+3& \approx & \mathrm{4,73}\end{array}$. Donc sur l'intervalle $\left[\mathrm{e};4\right]$, $f\left(x\right)>0$

      Ainsi, pour tout réel x appartenant à $\left[2;4\right]$, $f\left(x\right)>0$

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   2. Donner une interprétation graphique de I.

      Sur l'intervalle $\left[2;4\right]$, la fonction f est continue et positive alors, d'après le lien entre l'intégrale et aire :Soit a et b deux réels tels que $a⩽b$, f une fonction définie et continue sur l'intervalle $\left[a;b\right]$ et $𝒞$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal $\left(\mathrm{O};\overrightarrow{𝚤},\overrightarrow{ȷ}\right)$ .
      Si, pour tout réel x de l'intervalle $\left[a;b\right]$,  $f\left(x\right)⩾0$, alors ${\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$ est l'aire, en unités d'aire, du domaine compris entre la courbe $𝒞$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=a$ et $x=b$.

      L'intégale $\mathrm{I}={\displaystyle {\int }_2^{4}f\left(t\right)\mathrm{d}t}$ mesure en unités d'aire, l'aire du domaine délimité par la courbe $C_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=2$ et $x=4$.

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5. On admet que le bénéfice, en milliers d'euros, que réalise une entreprise lorsqu'elle fabrique x milliers de pièces est égal à $f\left(x\right)$.
   En utilisant les résultats précédents, déterminer la valeur moyenne du bénéfice lorsque la production varie entre 2 000 et 4 000 pièces. On donnera une valeur approchée de ce bénéfice à 100 euros près.

   Soit $\mu$ la valeur moyenne de la fonction f sur $[2;4]$ d'après la définition de la valeur moyenne d'une fonction continue sur un intervalle :Soit I un intervalle, f une fonction continue sur I et a, b deux réels appartenant à I tels que $a<b$.
   On appelle valeur moyenne de la fonction f sur $\left[a;b\right]$, le nombre :$$\mu ={\displaystyle {\displaystyle \frac{1}{b-a}}{\int }_a^{b}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$$

   $$\begin{array}{lllll}\mu & =& {\displaystyle \frac{1}{4-2}}{\displaystyle {\int }_2^{4}f\left(t\right)\mathrm{d}t}& =& {\displaystyle \frac{1}{2}}\times \left({\displaystyle \frac{15}{2}}{\left(\ln 2\right)}^2+6\right)\\ & & & =& {\displaystyle \frac{15}{4}}\times {\left(\ln 2\right)}^2+3\\ & & & \approx & \mathrm{4,8017}\end{array}$$

   Arrondie à 100 euros près, la valeur moyenne du bénéfice lorsque la production varie entre 2 000 et 4 000 pièces est de 4 800 €.

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