sujet : Pondichery

indications pour l'exercice 2 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Une entreprise de services d'une ville cherche à modéliser la consommation des ménages sur les dernières années.
Le rang $x_1=1$ est donné pour l'année 1998. La consommation est exprimée en milliers d'euros.

Année	1998	2000	2001	2002	2004
Rang de l'année $x_i$	1	3	4	5	7
Consommation en milliers d'euros $y_i$	28,5	35	52	70,5	100,5

1. Représenter le nuage de points $P\left(x_i;y_i\right)$ dans un repère orthogonal du plan (on prendra 1 cm comme unité en abscisses et 1 cm pour 10 000 € en ordonnées).

2. Déterminer les coordonnées du point moyen G de ce nuage ; le placer dans le repère précédent.

3. On réalise un ajustement affine de ce nuage par la droite D d'équation $y=\mathrm{12,5}x+b$ qui passe par le point G.

   1. Déterminer la valeur de b.

   2. Tracer la droite D dans le repère précédent.

4. Déterminer, à l'aide de l'ajustement précédent, la consommation estimée des ménages de cette ville en 2005.

5. En réalité, un relevé récent a permis de constater qu'en 2005 la consommation réelle des ménages de cette ville était de $y_8=\mathrm{140\; 000}€$.
   Déterminer, en pourcentage, l'erreur commise par l'estimation précédente par rapport à la valeur exacte (on donnera un résultat à l'aide d'un nombre entier en effectuant un arrondi).

6. Un nouvel ajustement de type exponentiel semble alors plus adapté.

   1. Recopier et compléter le tableau suivant sachant que $z=\ln y$. Les résultats seront arrondis au centième.

      $x_i$	1	3	4	5	7	8
      $z_i=\ln y_i$	3,35	…	…	…	…	4,94

   2. Déterminer l'équation réduite de la droite de régression de z en x obtenue par la méthode des moindres carrés à l'aide de la calculatrice ; cette équation est de la forme $z=cx+d$ ; on donnera les arrondis des coefficients c et d à ${10}^{-2}$.

   3. En déduire que : $y=\mathrm{20,49}{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,23}x}$.

      Pour tout réel $y>0$, $z=\ln y\iff y={\mathrm{e}}^z$

   4. Estimer alors, à l'aide de ce nouvel ajustement, la consommation des ménages de cette ville en 2007 à 100 € près.

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