Baccalauréat Avril 2007 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Pondichery

correction de l'exercice 3 : commun à tous les candidats

Madame Boulard fait un très grand élevage de chats de races. Elle possède des Siamois, des Birmans et des Abyssins. Le printemps dernier, pratiquement toutes ses femelles ont eu des bébés et Madame Boulard a mis une annonce pour signaler qu'elle avait une très grande quantité de petits chatons à vendre.

On sait que :

32 % des chatons sont des Siamois, 54 % des chatons sont des Abyssins et le reste est constitué de Birmans.
Parmi les Siamois, 54 % sont des mâles.
66 % des Abyssins sont des femelles.
Il y a au total 40,96 % de chatons mâles.

Un petit garçon, Pierre, vient acheter un chaton avec sa mère. Comme ils sont tous adorables et qu'il n'arrive pas à choisir, Pierre décide de le prendre au hasard. On désigne par S, B, A, M et F les évènements suivants :

S : « Pierre achète un chaton Siamois ».
B : « Pierre achète un chaton Birman ».
A : « Pierre achète un chaton Abyssin ».
M : « Pierre achète un chaton mâle ».
F : « Pierre achète un chaton femelle ».

1. Traduire les données de l'énoncé en langage de probabilités.
  - 32 % des chatons sont des Siamois, 54 % des chatons sont des Abyssins et le reste est constitué de Birmans, alors :
    $p (S) = 0,32$ , $p (A) = 0,54$ et $p (B) = 1 - (0,32 + 0,54) = 0,14$
  - Parmi les Siamois, 54 % sont des mâles, alors $p_{S} (M) = 0,54$ .
  - 66 % des Abyssins sont des femelles alors, $p_{A} (F) = 0,66$ .
  - Il y a au total 40,96 % de chatons mâles alors, $p (M) = 0,4096$ .
2. Construire un arbre illustrant la situation, en indiquant sur chaque branche les probabilités données dans l'énoncé. Les probabilités manquantes seront calculées dans les questions ultérieures.
1. Déterminer la probabilité que Pierre achète un chaton mâle Siamois.
  Il s'agit de calculer $p (M \cap S)$ $\begin{array}{l} p (M \cap S) & = & p_{S} (M) \times p (S) \\ = & 0,54 \times 0,32 \\ = & 0,1728 \end{array}$
  La probabilité que Pierre achète un chaton mâle Siamois est égale à 0,1728.
2. Calculer $p (M \cap A)$ et interpréter ce résultat à l'aide d'une phrase.
  $\begin{array}{l} p (M \cap A) & = & p_{A} (M) \times p (A) \end{array}$
  Or $\begin{array}{l} p_{A} (M) & = & 1 - p_{A} (F) \\ = & 1 - 0,66 \\ = & 0,34 \end{array}$
  Donc $\begin{array}{l} p (M \cap A) & = & 0,34 \times 0,54 \\ = & 0,1836 \end{array}$
  La probabilité que Pierre achète un chaton mâle Abyssin est égale à 0,1836.
3. En déduire que la probabilité que Pierre achète un chaton mâle Birman est égale à 0,0532.
  S, A et B forment une partition de l'univers alors, d'après la formule des probabilités totales : $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{n}$ forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience aléatoire.
  Alors la probabilité d'un événement B est donnée par : $p (B) = p (B \cap A_{1}) + p (B \cap A_{2}) + \dots + p (B \cap A_{n})$
  Dans le cas de deux évènements quelconques, A et B, relatifs à une même épreuve : $p (B) = p (B \cap A) + p (B \cap \bar{A})$ $p (M) = p (M \cap S) + p (M \cap A) + p (M \cap B)$
  Donc $\begin{array}{l} p (M \cap B) & = & p (M) - p (M \cap S) - p (M \cap A) \\ = & 0,4096 - 0,1728 - 0,1836 \\ = & 0,0532 \end{array}$
  La probabilité que Pierre achète un chaton mâle Birman est égale à 0,0532.
4. Le chaton acheté par Pierre est un Birman. Quelle est la probabilité que ce soit un mâle ?
  Il s'agit de calculer $p_{B} (M)$ : $\begin{array}{l} p_{B} (M) & = & \frac{p (M \cap B)}{p (B)} \\ = & \frac{0,0532}{0,14} \\ = & 0,38 \end{array}$
  La probabilité que le chaton acheté soit un mâle, sachant que c'est un Birman est égale à 0,38.
Finalement, Pierre est tellement séduit par ces chatons qu'il décide d'en acheter trois, toujours au hasard. On assimilera ces achats à des tirages successifs avec remise.
Quelle est la probabilité qu'il y ait, parmi ces trois chatons, exactement deux mâles Birmans (le résultat sera arrondi à $10^{- 3}$ ) ?
Notons G l'évènement : « le chaton acheté est un mâle Birman » de probabilité 0,0532. Donc $\begin{matrix} p (\bar{G}) & = & 1 - 0,0532 & = & 0,9468 \end{matrix}$
Les trois achats, sont assimilés à trois tirages successifs avec remise. Il s'agit donc de la répétition de trois épreuves de Bernoulli indépendantes.
La loi de probabilité associée au nombre de chatons mâles Birmans achetés est une loi binomiale de paramètres 3 et 0,0532 qui peut être représentée par l'arbre ci-dessous :
L'évènement : « exactement deux des trois chatons achetés sont des mâles Birmans » peut être obtenu selon les trois chemins en rouge sur l'arbre. Les évènements correspondants à ces tois chemins ont la même probabilité d'où la probabilité cherchée : $3 \times {0,0532}^{2} \times 0,9468 \approx 0,00804$
Arrondie au millième, la probabilité qu'il y ait, parmi ces trois chatons, exactement deux mâles Birmans est 0,008.

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