sujet : Candidats ayant repassé l'épreuve en juin 2017

correction de l'exercice 1 : commun à tous les candidats

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chacune des quatre questions, quatre réponses sont proposées ; une seule de ces réponses convient. Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.
Une réponse exacte rapporte 1 point, une réponse fausse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.

1. Si X est une variable aléatoire qui suit la loi normale d'espérance $\mu =3$ et d'écart-type $\sigma =1$ alors $P\left(X⩽\mathrm{2,5}\right)$ a pour valeur approchée arrondie au centième :

   Selon le modèle de calculatrice utilisée, la réponse est immédiate ou $$\begin{array}{rcl}P\left(X⩽\mathrm{2,5}\right)& =& P\left(X⩽3\right)-P\left(\mathrm{2,5}<X⩽3\right)\\ & =& \mathrm{0,5}-P\left(\mathrm{2,5}<X⩽3\right)\approx \mathrm{0,31}\end{array}$$

   a. 0,16

   b. 0,26

   c. 0,31

   d. 0,54

2. Soit Y une variable aléatoire qui suit la loi normale d'espérance 0 et d'écart-type σ. Si $P\left(-5⩽X⩽5\right)\approx \mathrm{0,95}$ alors, parmi les réponses suivantes, la meilleure valeur approchée de σ est :

   Y suit la loi normale d'espérance $\mu =0$ et d'écart-type σ d'où, $P\left(0-2\sigma ⩽Y⩽0+2\sigma \right)\approx \mathrm{0,95}$. Comme $P\left(-5⩽X⩽5\right)\approx \mathrm{0,95}$ on en déduit que :$$\begin{array}{ccc}2\sigma =5& \iff & \sigma =\mathrm{2,5}\end{array}$$

   a. 5

   b. 2,5

   c. 1,3

   d. 0,95

3. Un institut de sondage réalise une enquête afin de mesurer le degré de satisfaction du service après-vente d'une société. Une première étude portant sur un échantillon aléatoire de 500 clients révèle que l'on dénombre 438 clients satisfaits. Un intervalle de confiance au niveau de confiance 0,95 permettant d'estimer la proportion de clients satisfaits est :

   La fréquence des clients satisfaits dans l'échantillon est :$$f={\displaystyle \frac{438}{500}}=\mathrm{0,876}$$

   Un intervalle de confiance de la proportion des clients satisfaits au niveau de confiance de 95 % est :$$I=\left[\mathrm{0,876}-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{500}}};\mathrm{0,876}+{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{500}}}\right]\approx \left[\mathrm{0,831};\mathrm{0,921}\right]$$

   a. $\left[\mathrm{0,079};\mathrm{0,169}\right]$

   b. $\left[\mathrm{0,455};\mathrm{0,545}\right]$

   c. $\left[\mathrm{0,831};\mathrm{0,921}\right]$

   d. $\left[\mathrm{0,874};\mathrm{0,878}\right]$

4. Cet institut souhaite réduire l'amplitude de l'intervalle de confiance. Combien de personnes au minimum faut-il interroger pour que cet intervalle de confiance ait une amplitude d'au plus 0,05 ?

   Un intervalle de confiance de la proportion inconnue p au niveau de confiance 0,95 est $\left[f-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{n}}};f+{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{n}}}\right]$ où f est la fréquence observée dans un échantillon de taille n.
   Au niveau de confiance 0,95, l'amplitude de l'intervalle de confiance est ${\displaystyle \frac{2}{\sqrt{n}}}$.

   La taille n de l'échantillon est solution de l'inéquation :$$\begin{array}{rcl}{\displaystyle \frac{2}{\sqrt{n}}}⩽\mathrm{0,05}& \iff & \sqrt{n}⩾{\displaystyle \frac{2}{\mathrm{0,05}}}\\ & \iff & n⩾{40}^2\\ & \iff & n⩾1600\end{array}$$

   Il faut interroger au moins 1600 personnes pour obtenir un intervalle de confiance d'amplitude inférieure à 0,05

   a. 1500

   b. 40

   c. 2000

   d. 400

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