sujet : Candidats ayant repassé l'épreuve en juin 2017

correction de l'exercice 3 : commun à tous les candidats

1. Représenter la situation par un arbre de probabilité.

   • L'angine est bactérienne dans 20 % des cas d'où $p\left(B\right)=\mathrm{0,2}$ et $p\left(\overline{B}\right)=1-\mathrm{0,2}=\mathrm{0,8}$.
   • si l'angine est bactérienne, le test est négatif dans 30 % des cas d'où $p_B\left(\overline{T}\right)=\mathrm{0,3}$ et $p_B\left(T\right)=1-\mathrm{0,3}=\mathrm{0,7}$.
   • si l'angine est virale, le test est positif dans 10 % des cas d'où $p_{\overline{B}}\left(T\right)=\mathrm{0,1}$ et $p_{\overline{B}}\left(\overline{T}\right)=1-\mathrm{0,1}=\mathrm{0,9}$.

   L'arbre pondéré traduisant cette situation est :

2. 1. Quelle est la probabilité que l'angine du malade soit bactérienne et que le test soit positif ?

      $$\begin{array}{ccc}p\left(B\cap T\right)=p_B\left(T\right)\times p\left(B\right)& \text{soit}& p\left(B\cap T\right)=\mathrm{0,7}\times \mathrm{0,2}=\mathrm{0,14}\end{array}$$

      La probabilité que l'angine du malade soit bactérienne et que le test soit positif est égale à 0,14.

      ---

   2. Montrer que la probabilité que le test soit positif est 0,22.

      Les évènements B et T sont relatifs à la même épreuve, alors d'après la formule des probabilités totales :$A_1,A_2,\cdots ,A_n$  forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience aléatoire.
      Alors la probabilité d'un événement B est donnée par : $$p\left(B\right)=p\left(B\cap A_1\right)+p\left(B\cap A_2\right)+\cdots +p\left(B\cap A_n\right)$$
      Dans le cas de deux évènements quelconques, A et B, relatifs à une même épreuve :$$p\left(B\right)=p\left(B\cap A\right)+p\left(B\cap \overline{A}\right)$$$$p\left(T\right)=p\left(B\cap T\right)+p\left(\overline{B}\cap T\right)$$

      Or $$\begin{array}{ccc}p\left(\overline{B}\cap T\right)=p_{\overline{B}}\left(T\right)\times p\left(\overline{B}\right)& \text{soit}& p\left(\overline{B}\cap T\right)=\mathrm{0,1}\times \mathrm{0,8}=\mathrm{0,08}\end{array}$$

      On obtient alors $$p\left(T\right)=\mathrm{0,14}+\mathrm{0,08}=\mathrm{0,22}$$

      La probabilité que le test soit positif est égale à 0,22.

      ---

   3. Un malade est choisi au hasard parmi ceux dont le test est positif. Quelle est la probabilité pour que son angine soit bactérienne ?

      $$\begin{array}{ccc}{p}_T\left(B\right)={\displaystyle \frac{p\left(B\cap T\right)}{p\left(T\right)}}& \text{Soit}& p_T\left(B\right)={\displaystyle \frac{\mathrm{0,14}}{\mathrm{0,22}}}={\displaystyle \frac{7}{11}}\end{array}$$

      La probabilité qu'un malade dont le test est positf ait une angine d'origine bactérienne est égale à ${\displaystyle \frac{7}{11}}$.

      ---

3. On choisit au hasard cinq malades atteints d'une angine.
   On note X la variable aléatoire qui donne, parmi les cinq malades choisis, le nombre de malades dont le test est positif.

   1. Quelle est la loi de probabilité suivie par X ?

      Pour chacun des malades atteints d'une angine, il n'y a que deux issues possibles, le test est positif ou pas. Il s'agit donc de la répétition de cinq épreuves de Bernoulli dont la probabilité du succès est égale à 0,22.

      X suit la loi binomiale de paramètres $n=5$ et $p=\mathrm{0,22}$.

      ---

   2. Calculer la probabilité qu'au moins l'un des cinq malades ait un test positif.

      L'évènement « au moins un des cinq tests est positif » est l'évènement contraire de l'évènement « aucun des cinq tests n'est positif » $$\begin{array}{ccc}p\left(X⩾1\right)=1-p\left(X=0\right)& \text{soit}& p\left(X⩾1\right)=1-{\left(1-\mathrm{0,22}\right)}^5=1-{\mathrm{0,78}}^5\approx \mathrm{0,711}\end{array}$$

      La probabilité qu'au moins l'un des cinq malades ait un test positif est environ 0,71.

      ---

   3. Calculer l'espérance mathématique de X.

      $E\left(X\right)=5\times \mathrm{0,22}=\mathrm{1,1}$.

      ---

---

Rechercher des exercices regoupés par thème

exercices compatibles programme 2012 : ------- Liste des thèmes disponibles -------SuitesFonctions : Lectures graphiquesFonction logarithmeFonction logarithme avec intégraleFonction exponentielleFonction exponentielle avec intégraleCalcul intégralFonctions : Applications économiquesExponentielle : Applications économiquesQuestions ouvertesProbabilitésVariables aléatoires discrètesLoi binomialeLois de probabilité à densitéQCM AnalyseQ.C.M. ProbabilitésQ.C.M. DiversVrai - FauxGraphesGraphes probabilistesGraphes probabilistes et graphesVrai-Faux (spécialité)

indifférent : ------- Liste des thèmes disponibles -------SuitesFonctions : Lectures graphiquesFonctions : Lectures de tableauxFonction logarithmeFonction logarithme avec intégraleFonction exponentielleFonction exponentielle avec intégraleCalcul intégralFonctions : Applications économiquesExponentielle : Applications économiquesAjustement affine d'un nuage de pointsAjustement non affine d'un nuage de pointsAjustement exponentiel d'un nuage de pointsQuestions ouvertesProbabilitésAdéquation à une loi équirépartieVariables aléatoires discrètesLoi binomialeLois de probabilité à densitéQCM AnalyseQ.C.M. ProbabilitésQ.C.M. DiversVrai - FauxVrai - Faux (Probabilités)Réstitution organisée de connaissancesGéométrie dans l'espaceFonctions de deux variablesGraphesGraphes probabilistesGraphes probabilistes et graphesQ.C.M. SpécialitéVrai-Faux (spécialité)

---

[ Accueil ]

---

Les documents présentés ne sont pas libres de droits. Vous pouvez les télécharger et diffuser (en indiquant la provenance) à condition de ne pas en faire un usage commercial.