Baccalauréat 2017 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Candidats ayant repassé l'épreuve en juin 2017

Corrigé de l'exercice 2: candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité ES

En 2016, un institut de sondage mène une enquête régionale sur la manière dont les particuliers paient leur assurance. Les assurés se répartissent en deux catégories distinctes :

  • la catégorie A, composée des assurés qui paient en agence ;
  • la catégorie B, composée des assurés qui paient en ligne.

En 2016, 92 % des assurés paient en agence.
On admet que, d'une année à l'autre, 4 % des assurés de la catégorie A passent à la catégorie B et que 1 % des assurés de la catégorie B passent à la catégorie A.
On suppose que le nombre d'assurés est constant et que chaque année un assuré fait partie d'une seule catégorie.

Pour tout entier naturel n, on considère l'année (2016+n) et on note :

  • an la probabilité qu'un assuré, pris au hasard, soit de catégorie A cette année-là,
  • bn la probabilité qu'un assuré, pris au hasard, soit de catégorie B cette année-là,
  • Pn la matrice ligne (anbn). Ainsi P0=(0,920,08).
  1. Représenter la situation à l'aide d'un graphe probabiliste.
    On notera A l'état « l'assuré est de catégorie A » et B l'état « l'assuré est de catégorie B ».

    On admet que, d'une année à l'autre :

    • 4 % des assurés de la catégorie A passent à la catégorie B d'où pAn(Bn+1)=0,04 et pAn(An+1)=1-0,04=0,96.

    • 1 % des assurés de la catégorie B passent à la catégorie A d'où pBn(An+1)=0,01 et pBn(Bn+1)=1-0,01=0,99.

    D'où le graphe probabiliste correspondant à cette situation :

    Graphe probabiliste : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  2. On admet que la matrice de transition M associée à cette situation est M=(0,960,040,010,99).

    1. Exprimer P1 en fonction de M et de P0.

      M est la matrice de transition du graphe d'où P1=P0×M.


    2. En déduire la probabilité qu'un assuré soit de catégorie A en 2017. Arrondir le résultat au centième.

      (a1b1)=(0,920,08)×(0,960,040,010,99)=(0,92×0,96+0,08×0,010,92×0,04+0,08×0,99)=(0,8840,116)

      La probabilité, arrondie au centième près, qu'un assuré soit de catégorie A en 2017 est 0,88.


  3. Soit P=(ab) la matrice ligne donnant l'état stable du graphe.

    1. Justifier que {-0,04a+0,01b=0a+b=1.

      Les termes de la matrice de tansition M d'ordre 2 ne sont pas nuls, alors l'état Pn converge vers un état stable P=(ab) avec a+b=1 et vérifiant : (ab)=(ab)×(0,960,040,010,99)(ab)=(0,96a+0,01b0,04a+0,99b)soit{a=0,96a+0,01bb=0,04a+0,99b{0,04a-0,01b=0-0,04a+0,01b=0

      D'où a et b vérifient la relation -0,04a+0,01b=0. Comme d'autre part, a+b=1 on en déduit que a et b sont solutions du système : {-0,04a+0,01b=0a+b=1.


    2. Résoudre le système précédent. Quelle conclusion peut-on tirer quant à la répartition à long terme des assurés ?

      {-0,04a+0,01b=0a+b=1{0,04b=0,04a+b=1{a=15b=45

      L'état stable du système est P=(0,20,8). À partir d'un certain nombre d'années, tous les ans, environ 20 % des assurés paieront en agence et 80 % paieront en ligne.


    1. Montrer que, pour tout entier naturel n, an+1=0,95×an+0,01.

      M est la matrice de transition du graphe d'où pour tout entier naturel n, on a Pn+1=Pn×M. Soit pour tout entier naturel n : (an+1bn+1)=(anbn)×(0,960,040,010,99)=(an×0,96+bn×0,01an×0,04+bn×0,99)

      Ainsi, pour tout entier naturel n, an+1=0,96an+0,01bn avec an+bn=1 d'où an+1=0,96an+0,01×(1-an)=0,96an+0,01-0,01an=0,95an+0,01

      Pour tout entier naturel n, on a an+1=0,95an+0,01.


      On admet que, pour tout entier naturel n, an=0,2+0,72×0,95n et que la suite (an) est décroissante.

    2. On souhaite déterminer au bout de combien d'années moins d'un assuré sur deux sera de catégorie A. Recopier et compléter l'algorithme pour qu'il donne le résultat attendu.

      Au choix :

      A0,92
      N0

      Tant que A0,5

      • NN+1
      • A0,95×A+0,01

      Fin Tant que

      OU

      A0,92
      N0

      Tant que A0,5

      • NN+1
      • A0,2+0,72×0,95N

      Fin Tant que

    3. La proportion d'assurés de catégorie A va-t-elle devenir inférieure à 0,5 ? Si oui, à partir de quelle année ? Expliquer la démarche choisie.

      On cherche le plus petit entier n solution de l'inéquation :0,2+0,72×0,95n<0,50,72×0,95n<0,30,95n<0,30,72ln(0,95n)<ln0,30,72 La fonction  ln est strictement croissanten×ln0,95<ln0,30,72Pour tout réel a strictement positif et pour tout entier nlnan=nlnan>ln0,30,72ln0,95ln0,95<0

      Comme ln0,30,72ln0,9517,1 alors le plus petit entier n solution de l'inéquation 0,2+0,72×0,95n<0,5 est n=18.

      La proportion d'assurés de catégorie A va devenir inférieure à 0,5 à partir de 2034.



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