En 2016, un institut de sondage mène une enquête régionale sur la manière dont les particuliers paient leur assurance. Les assurés se répartissent en deux catégories distinctes :
En 2016, 92 % des assurés paient en agence.
On admet que, d'une année à l'autre, 4 % des assurés de la catégorie A passent à la catégorie B et que 1 % des assurés de la catégorie B passent à la catégorie A.
On suppose que le nombre d'assurés est constant et que chaque année un assuré fait partie d'une seule catégorie.
Pour tout entier naturel n, on considère l'année et on note :
Représenter la situation à l'aide d'un graphe probabiliste.
On notera A l'état « l'assuré est de catégorie A » et B l'état « l'assuré est de catégorie B ».
On admet que, d'une année à l'autre :
4 % des assurés de la catégorie A passent à la catégorie B d'où et .
1 % des assurés de la catégorie B passent à la catégorie A d'où et .
D'où le graphe probabiliste correspondant à cette situation :
On admet que la matrice de transition M associée à cette situation est .
Exprimer en fonction de M et de .
M est la matrice de transition du graphe d'où .
En déduire la probabilité qu'un assuré soit de catégorie A en 2017. Arrondir le résultat au centième.
La probabilité, arrondie au centième près, qu'un assuré soit de catégorie A en 2017 est 0,88.
Soit la matrice ligne donnant l'état stable du graphe.
Justifier que .
Les termes de la matrice de tansition M d'ordre 2 ne sont pas nuls, alors l'état converge vers un état stable avec et vérifiant :
D'où a et b vérifient la relation . Comme d'autre part, on en déduit que a et b sont solutions du système : .
Résoudre le système précédent. Quelle conclusion peut-on tirer quant à la répartition à long terme des assurés ?
L'état stable du système est . À partir d'un certain nombre d'années, tous les ans, environ 20 % des assurés paieront en agence et 80 % paieront en ligne.
Montrer que, pour tout entier naturel n, .
M est la matrice de transition du graphe d'où pour tout entier naturel n, on a . Soit pour tout entier naturel n :
Ainsi, pour tout entier naturel n, avec d'où
Pour tout entier naturel n, on a .
On admet que, pour tout entier naturel n, et que la suite est décroissante.
On souhaite déterminer au bout de combien d'années moins d'un assuré sur deux sera de catégorie A. Recopier et compléter l'algorithme pour qu'il donne le résultat attendu.
Au choix :
Tant que Fin Tant que | OU | Tant que Fin Tant que |
La proportion d'assurés de catégorie A va-t-elle devenir inférieure à 0,5 ? Si oui, à partir de quelle année ? Expliquer la démarche choisie.
On cherche le plus petit entier n solution de l'inéquation :
Comme alors le plus petit entier n solution de l'inéquation est .
La proportion d'assurés de catégorie A va devenir inférieure à 0,5 à partir de 2034.
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