sujet : Liban 2017

correction de l'exercice 1 : commun à tous les candidats

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée.
Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point. Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse correspondante.

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1. On considère la fonction g définie sur $\left]0;+\infty \right[$ par $g\left(x\right)={\displaystyle \frac{2}{x}}$. La valeur moyenne de la fonction g sur l'intervalle $\left[1;\mathrm{e}\right]$ est :

   La valeur moyenne de la fonction g sur l'intervalle $\left[1;\mathrm{e}\right]$ est :$$\begin{array}{rcl}m={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{e}-1}}\times {\displaystyle {\int }_1^{\mathrm{e}}{\displaystyle \frac{2}{x}}\mathrm{d}x}& =& {\displaystyle \frac{1}{\mathrm{e}-1}}\times {\left[2\ln x\right]}_1^{\mathrm{e}}\\ & =& {\displaystyle \frac{1}{\mathrm{e}-1}}\times \left(2\ln \mathrm{e}-2\ln 1\right)\\ & =& {\displaystyle \frac{2}{\mathrm{e}-1}}\end{array}$$

   a. 2

   b. ${\displaystyle \frac{1}{\mathrm{e}-1}}$

   c. ${\displaystyle \frac{2}{\mathrm{e}-1}}$

   d. ${\displaystyle \frac{-2}{\mathrm{e}-1}}$

2. On considère une variable aléatoire X suivant une loi normale. La courbe de la figure ci-dessous représente la fonction de densité f associée à la variable X.

   X est une variable aléatoire qui suit la loi normale d'espérance μ et d'écart-type σ :

   • La courbe représentative, dans un repère orthogonal, de la fonction de densité f admet la droite d'équation $x=\mu$ pour axe de symétrie donc $\mu =1$.

   • Comme $P\left(\mu -2\sigma ⩽X⩽\mu +2\sigma \right)\approx \mathrm{0,954}$, on en déduit que $\sigma =\mathrm{0,2}$

   1. L'espérance de X est 0,4.

   2. L'espérance de X est 0,95.

   3. L'écart-type de X est environ 0,4.

   4. L'écart-type de X est environ 0,2.

3. À l'occasion de son inauguration, un hypermarché offre à ses clients un ticket à gratter par tranche de 10 euros d'achats. L'hypermarché affirme que 15 % des tickets à gratter sont gagnants, c'est-à-dire donneront droit à un bon d'achat de 5 euros.
   Amandine a reçu 50 tickets à gratter après un achat de 500 euros dans cet hypermarché. Deux d'entre eux étaient gagnants.
   On suppose que le nombre de tickets à gratter est suffisamment important pour considérer qu'un échantillon de 50 tickets correspond à un tirage aléatoire avec remise.

   L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la proportion $p=\mathrm{0,15}$ de tickets gagnants dans un échantillon de 50 tickets est :$$\begin{array}{ccc}I=\left[\mathrm{0,15}-\mathrm{1,96}\times \sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{0,15}\times \mathrm{0,85}}{50}}};\mathrm{0,15}+\mathrm{1,96}\times \sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{0,15}\times \mathrm{0,85}}{50}}}\right]& \approx & \left[\mathrm{0,051};\mathrm{0,249}\right]\end{array}$$

   1. L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la fréquence observée de tickets gagnants dans un échantillon de 50 tickets à gratter est $\left[\mathrm{0,051};\mathrm{0,249}\right]$, les bornes étant arrondies au millième.

   2. L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la fréquence observée de tickets gagnants dans un échantillon de 50 tickets à gratter est $\left[\mathrm{0,100};\mathrm{0,200}\right]$, les bornes étant arrondies au millième.

   3. La fréquence de tickets gagnants reçus par Amandine est ${\displaystyle \frac{50}{500}}$.

   4. Amandine peut annoncer avec un risque de 5 % que l'affirmation de l'hypermarché n'est pas mensongère.

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