Baccalauréat 2017 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Liban 2017

correction de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

partie a

On considère la fonction f définie sur l'intervalle 010 par fx=10,5+100e-x.
On note f la fonction dérivée de f sur l'intervalle 010.

  1. Montrer que, pour tout réel x dans l'intervalle 010, on a fx=100e-x0,5+100e-x2.

    Pour tout réel x on a e-x>0 donc pour tout réel x, 0,5+100e-x>0. La fonction f est dérivable sur l'intervalle 010.

    f=1u d'où f=-uu2 avec pour tout réel x de l'intervalle 010 : {ux=0,5+100e-xux=-100e-x

    Soit pour tout réel x de l'intervalle 010, fx=100e-x0,5+100e-x2.


On note f la fonction dérivée seconde de f sur l'intervalle 010.
Un logiciel de calcul formel fournit l'expression suivante de fx : fx=100e-x100e-x-0,50,5+100e-x3.

    1. Montrer que, dans l'intervalle 010, l'inéquation 100e-x-0,50 est équivalente à l'inéquation x-ln0,005.

      Pour tout réel x :100e-x-0,50e-x0,005-xln0,005x-ln0,005

      Ainsi, sur l'intervalle 010, 100e-x-0,50 équivaut à 0x-ln0,005.


    2. En déduire le tableau de signes de la fonction f sur l'intervalle 010.

      Comme pour tout réel e-x>0 on en déduit que 100e-x>0 et 0,5+100e-x3>0. Par conséquent, sur l'intervalle 010, fx est du même signe que 100e-x-0,5. D'où le tableau de signes de la fonction f sur l'intervalle 010 :

      x0-ln0,00510
      Signe de fx+0||
  1. On appelle 𝒞f la courbe représentative de f tracée dans un repère.
    Montrer, à l'aide de la question 2, que la courbe 𝒞f admet un point d'inflexion noté I, dont on précisera la valeur exacte de l'abscisse.

    La dérivée seconde s'annule en changeant de signe pour x=-ln0,005 donc la courbe 𝒞f admet un point d'inflexion d'abscisse -ln0,005=ln200.


  2. En utilisant les résultats de la question 2, déterminer l'intervalle sur lequel la fonction f est concave.

    La convexité de la fonction f se déduit du signe de sa dérivée seconde. Donc la fonction f est concave sur l'intervalle ln20010.


partie b

Dans toute cette partie les températures seront exprimées en degrés Celsius, notés ° C

La COP21, conférence sur les changements climatiques des Nations Unies, a adopté le 12 décembre 2015 le premier accord universel sur le climat, appelé accord de Paris, signé par 195 pays.
Cet accord confirme l'objectif, d'ici l'année 2100, que la température terrestre ne dépasse pas de plus de 2 ° C la température de l'année 1900.

Dans cette partie, on modélise, par la fonction f de la partie A, une évolution de température possible permettant d'atteindre l'objectif de l'accord de Paris.
La courbe représentative 𝒞f de la fonction est tracée ci-dessous, et I est son point d'inflexion.

  • Sur l'axe des abscisses, l'année 1900 correspond à 0 et une unité représente 25 ans, donc l'année 1925 correspond à 1.
  • Sur l'axe des ordonnées, on a représenté le nombre de degrés Celsius au-dessus de la température de 1900.
Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
    1. Calculer f10, en arrondissant le résultat au centième.

      f10=10,5+100e-101,98.


    2. En déduire qu'en 2150, avec ce modèle, l'objectif de l'accord de Paris sera respecté.

      Pour tout réel x de l'intervalle 010, fx=100e-x0,5+100e-x2>0 donc la fonction f est strictement croissante.

      Par conséquent, pour tout réel x de l'intervalle 010 on a fxf10 soit fx<2.

      Avec ce modèle, jusqu'en 2150, la température terrestre ne dépasse pas de plus de 2 ° C la température de l'année 1900. Donc en 2150, avec ce modèle, l'objectif de l'accord de Paris sera respecté.


    1. En utilisant la partie A, déterminer l'année correspondant à l'abscisse du point I d'inflexion de la courbe 𝒞f. Arrondir le résultat à l'unité.

      L'année correspondant à l'abscisse du point I d'inflexion de la courbe 𝒞f est : 1900-25×ln0,0052032

      Arrondie à l'unité, l'année correspondant à l'abscisse du point I d'inflexion de la courbe 𝒞f est 2032.


    2. Calculer, pour cette année-là, le nombre de degrés Celsius supplémentaires par rapport à 1900.

      f-ln0,005=10,5+100eln0,005=10,5+100×0,005=1

      L'année correspondant à l'abscisse du point I d'inflexion de la courbe 𝒞f la température a augmenté de 1 ° C par rapport à la température de l'année 1900.


  1. On appelle vitesse du réchauffement climatique la vitesse d'augmentation du nombre de degrés Celsius. On admet que, à partir de 1900, la vitesse du réchauffement climatique est modélisée par la fonction f.

    1. Est-il vrai de dire qu'après 2033 la température terrestre diminuera ? Justifier la réponse.

      La fonction f est strictement croissante donc après 2033 la température terrestre augmentera.


    2. Est-il vrai de dire qu'après 2033 la vitesse du réchauffement climatique diminuera ? Justifier la réponse.

      Les variations de la dérivée f se déduisent du signe de la dérivée seconde f

      x0-ln0,00510
      fx+0||
      fxfonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

      Sur l'intervalle -ln0,00510 la dérivée est décroissante donc après 2033 la vitesse du réchauffement climatique diminuera.


  2. Pour sauvegarder les îles menacées par la montée des eaux, la température terrestre ne doit pas dépasser de plus de 1,5 ° C la température de l'année 1900.
    Déterminer l'année au cours de laquelle la température terrestre atteindra ce seuil, selon ce modèle.

    Déterminons le rang des années pour lesquelles on a fx1,5 : 10,5+100e-x1,50,5+100e-x11,5100e-x16-xln1600xln600

    L'année correspondant au rang x=ln600 est : 1900+25×ln6002059,9

    C'est au cours de l'année 2059 (ou à partir de 2060) que la température terrestre dépassera de plus de 1,5 ° C la température de l'année 1900.



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