sujet : Liban 2017

correction de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

partie a

On considère la fonction f définie sur l'intervalle $\left[0;10\right]$ par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{0,5}+100{\mathrm{e}}^{-x}}}$.
On note $f\prime$ la fonction dérivée de f sur l'intervalle $\left[0;10\right]$.

1. Montrer que, pour tout réel x dans l'intervalle $\left[0;10\right]$, on a $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{100{\mathrm{e}}^{-x}}{{\left(\mathrm{0,5}+100{\mathrm{e}}^{-x}\right)}^2}}$.

   Pour tout réel x on a ${\mathrm{e}}^{-x}>0$ donc pour tout réel x, $\mathrm{0,5}+100{\mathrm{e}}^{-x}>0$. La fonction f est dérivable sur l'intervalle $\left[0;10\right]$.

   $f={\displaystyle \frac{1}{u}}$ d'où $f\prime =-{\displaystyle \frac{u\prime }{u^2}}$ avec pour tout réel x de l'intervalle $\left[0;10\right]$ : $\{\begin{array}{l}u\left(x\right)=\mathrm{0,5}+100{\mathrm{e}}^{-x}\\ u\prime \left(x\right)=-100{\mathrm{e}}^{-x}\end{array}$

   Soit pour tout réel x de l'intervalle $\left[0;10\right]$, $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{100{\mathrm{e}}^{-x}}{{\left(\mathrm{0,5}+100{\mathrm{e}}^{-x}\right)}^2}}$.

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On note $f″$ la fonction dérivée seconde de f sur l'intervalle $\left[0;10\right]$.
Un logiciel de calcul formel fournit l'expression suivante de $f″\left(x\right)$ : $f″\left(x\right)={\displaystyle \frac{100{\mathrm{e}}^{-x}\left(100{\mathrm{e}}^{-x}-\mathrm{0,5}\right)}{{\left(\mathrm{0,5}+100{\mathrm{e}}^{-x}\right)}^3}}$.

2. 1. Montrer que, dans l'intervalle $\left[0;10\right]$, l'inéquation $100{\mathrm{e}}^{-x}-\mathrm{0,5}⩾0$ est équivalente à l'inéquation $x⩽-\ln \left(\mathrm{0,005}\right)$.

      Pour tout réel x :$$\begin{array}{rcl}100{\mathrm{e}}^{-x}-\mathrm{0,5}⩾0& \iff & {\mathrm{e}}^{-x}⩾\mathrm{0,005}\\ & \iff & -x⩾\ln \left(\mathrm{0,005}\right)\\ & \iff & x⩽-\ln \left(\mathrm{0,005}\right)\end{array}$$

      Ainsi, sur l'intervalle $\left[0;10\right]$, $100{\mathrm{e}}^{-x}-\mathrm{0,5}⩾0$ équivaut à $0⩽x⩽-\ln \left(\mathrm{0,005}\right)$.

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   2. En déduire le tableau de signes de la fonction $f″$ sur l'intervalle $\left[0;10\right]$.

      Comme pour tout réel ${\mathrm{e}}^{-x}>0$ on en déduit que $100{\mathrm{e}}^{-x}>0$ et ${\left(\mathrm{0,5}+100{\mathrm{e}}^{-x}\right)}^3>0$. Par conséquent, sur l'intervalle $\left[0;10\right]$, $f″\left(x\right)$ est du même signe que $100{\mathrm{e}}^{-x}-\mathrm{0,5}$. D'où le tableau de signes de la fonction $f″$ sur l'intervalle $\left[0;10\right]$ :

      x	0		$-\ln \left(\mathrm{0,005}\right)$		10
      Signe de $f″\left(x\right)$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−

3. On appelle ${𝒞}_f$ la courbe représentative de f tracée dans un repère.
   Montrer, à l'aide de la question 2, que la courbe ${𝒞}_f$ admet un point d'inflexion noté I, dont on précisera la valeur exacte de l'abscisse.

   La dérivée seconde s'annule en changeant de signe pour $x=-\ln \left(\mathrm{0,005}\right)$ donc la courbe ${𝒞}_f$ admet un point d'inflexion d'abscisse $-\ln \left(\mathrm{0,005}\right)=\ln 200$.

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4. En utilisant les résultats de la question 2, déterminer l'intervalle sur lequel la fonction f est concave.

   La convexité de la fonction f se déduit du signe de sa dérivée seconde. Donc la fonction f est concave sur l'intervalle $\left[\ln 200;10\right]$.

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partie b

1. 1. Calculer $f\left(10\right)$, en arrondissant le résultat au centième.

      $f\left(10\right)={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{0,5}+100{\mathrm{e}}^{-10}}}\approx \mathrm{1,98}$.

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   2. En déduire qu'en 2150, avec ce modèle, l'objectif de l'accord de Paris sera respecté.

      Pour tout réel x de l'intervalle $\left[0;10\right]$, $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{100{\mathrm{e}}^{-x}}{{\left(\mathrm{0,5}+100{\mathrm{e}}^{-x}\right)}^2}}>0$ donc la fonction f est strictement croissante.

      Par conséquent, pour tout réel x de l'intervalle $\left[0;10\right]$ on a $f\left(x\right)⩽f\left(10\right)$ soit $f\left(x\right)<2$.

      Avec ce modèle, jusqu'en 2150, la température terrestre ne dépasse pas de plus de 2 ° C la température de l'année 1900. Donc en 2150, avec ce modèle, l'objectif de l'accord de Paris sera respecté.

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2. 1. En utilisant la partie A, déterminer l'année correspondant à l'abscisse du point I d'inflexion de la courbe ${𝒞}_f$. Arrondir le résultat à l'unité.

      L'année correspondant à l'abscisse du point I d'inflexion de la courbe ${𝒞}_f$ est : $$1900-25\times \ln \left(\mathrm{0,005}\right)\approx 2032$$

      Arrondie à l'unité, l'année correspondant à l'abscisse du point I d'inflexion de la courbe ${𝒞}_f$ est 2032.

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   2. Calculer, pour cette année-là, le nombre de degrés Celsius supplémentaires par rapport à 1900.

      $$f\left(-\ln \mathrm{0,005}\right)={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{0,5}+100{\mathrm{e}}^{\ln \mathrm{0,005}}}}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{0,5}+100\times \mathrm{0,005}}}=1$$

      L'année correspondant à l'abscisse du point I d'inflexion de la courbe ${𝒞}_f$ la température a augmenté de 1 ° C par rapport à la température de l'année 1900.

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3. On appelle vitesse du réchauffement climatique la vitesse d'augmentation du nombre de degrés Celsius. On admet que, à partir de 1900, la vitesse du réchauffement climatique est modélisée par la fonction $f\prime$.

   1. Est-il vrai de dire qu'après 2033 la température terrestre diminuera ? Justifier la réponse.

      La fonction f est strictement croissante donc après 2033 la température terrestre augmentera.

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   2. Est-il vrai de dire qu'après 2033 la vitesse du réchauffement climatique diminuera ? Justifier la réponse.

      Les variations de la dérivée $f\prime$ se déduisent du signe de la dérivée seconde $f″$

      x	0		$-\ln \left(\mathrm{0,005}\right)$		10
      $f″\left(x\right)$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−
      $f\prime \left(x\right)$

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      Sur l'intervalle $\left[-\ln \mathrm{0,005};10\right]$ la dérivée est décroissante donc après 2033 la vitesse du réchauffement climatique diminuera.

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4. Pour sauvegarder les îles menacées par la montée des eaux, la température terrestre ne doit pas dépasser de plus de 1,5 ° C la température de l'année 1900.
   Déterminer l'année au cours de laquelle la température terrestre atteindra ce seuil, selon ce modèle.

   Déterminons le rang des années pour lesquelles on a $f\left(x\right)⩽\mathrm{1,5}$ : $$\begin{array}{rcl}{\displaystyle \frac{1}{\mathrm{0,5}+100{\mathrm{e}}^{-x}}}⩽\mathrm{1,5}& \iff & \mathrm{0,5}+100{\mathrm{e}}^{-x}⩾{\displaystyle \frac{1}{\mathrm{1,5}}}\\ & \iff & 100{\mathrm{e}}^{-x}⩾{\displaystyle \frac{1}{6}}\\ & \iff & -x⩾\ln \left({\displaystyle \frac{1}{600}}\right)\\ & \iff & x⩽\ln 600\end{array}$$

   L'année correspondant au rang $x=\ln 600$ est : $$1900+25\times \ln \left(600\right)\approx \mathrm{2059,9}$$

   C'est au cours de l'année 2059 (ou à partir de 2060) que la température terrestre dépassera de plus de 1,5 ° C la température de l'année 1900.

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