sujet : Liban 2017

correction de l'exercice 2 : commun à tous les candidats

Les deux parties sont indépendantes

partie a : L'accord de Kyoto (1997)

Le principal gaz à effet de serre (GES) est le dioxyde de carbone, noté CO₂.
En 2011, la France a émis 486 mégatonnes de GES en équivalent CO₂ contre 559 mégatonnes en 1990.

1. Dans l'accord de Kyoto, la France s'est engagée à réduire ses GES de 8 % entre 1990 et 2012.
   Peut-on dire qu'en 2011 la France respectait déjà cet engagement ? Justifier la réponse.

   $${\displaystyle \frac{486}{559}}\approx \mathrm{0,869}$$

   Entre 1990 et 2012 la France a réduit ses GES d'environ 13,1 %. Par conséquent, en 2011 la France respectait déjà l'engagement deb l'accord de Kyoto.

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2. Sachant que les émissions de 2011 ont marqué une baisse de 5,6 % par rapport à 2010, calculer le nombre de mégatonnes en équivalent CO₂ émises par la France en 2010. Arrondir le résultat à 0,1.

   Soit x le nombre de mégatonnes en équivalent CO₂ émises par la France en 2010. On a :$$\begin{array}{ccc}x\times \left(1-{\displaystyle \frac{\mathrm{5,6}}{100}}\right)=486& \iff & x={\displaystyle \frac{486}{\mathrm{0,944}}}\approx \mathrm{514,8}\end{array}$$

   En 2010, la France a émis environ 514,8 mégatonnes de GES en équivalent CO₂.

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partie b : Étude des émissions de gaz à effet de serre d'une zone industrielle

Un plan de réduction des émissions de gaz à effet de serre (GES) a été mis en place dans une zone industrielle. On estime que, pour les entreprises déjà installées sur le site, les mesures de ce plan conduisent à une réduction des émissions de 2 % d'une année sur l'autre et que, chaque année, les implantations de nouvelles entreprises sur le site génèrent 200 tonnes de GES en équivalent CO₂.
En 2005, cette zone industrielle a émis 41 milliers de tonnes de CO₂ au total.
Pour tout entier naturel n, on note $u_n$ le nombre de milliers de tonnes de CO₂ émis dans cette zone industrielle au cours de l'année $2005+n$.

1. Déterminer $u_0$ et $u_1$.

   $u_0=41$ et $$u_1=41\times \left(1-{\displaystyle \frac{2}{100}}\right)+{\displaystyle \frac{200}{1000}}=\mathrm{40,38}$$

   Ainsi, $u_0=41$ et $u_1=\mathrm{40,38}$.

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2. Montrer que, pour tout entier naturel n, on a : $u_{n+1}=\mathrm{0,98}\times u_n+\mathrm{0,2}$.

   Le coefficient multiplicateur associé à une baisse de 2 % est égal à 0,98 et, les implantations de nouvelles entreprises sur le site génèrent 0,2 milliers tonnes de GES en équivalent CO₂ donc :

   pour tout entier naturel n, on a : $u_{n+1}=\mathrm{0,98}\times u_n+\mathrm{0,2}$.

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3. On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie, pour tout entier naturel n, par $v_n=u_n-10$.

   1. Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison 0,98. Préciser son premier terme.

      Pour tout entier n, $$\begin{array}{lll}{v}_{n+1}& =& u_{n+1}-10\hfill \\ & =& \mathrm{0,98}{u}_n+\mathrm{0,2}-10\hfill \\ & =& \mathrm{0,98}{u}_n-\mathrm{9,8}\hfill \\ & =& \mathrm{0,98}\times \left(u_n-10\right)\hfill \\ & =& \mathrm{0,98}{v}_n\hfill \end{array}$$

      Ainsi, pour tout entier naturel n, $v_{n+1}=\mathrm{0,98}{v}_n$ donc $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison 0,98 dont le premier terme $v_0=41-10=31$.

      ---

   2. Exprimer $v_n$ en fonction de n, pour tout entier naturel n.

      $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison 0,98 et de premier terme $v_0=31$ donc pour tout entier naturel n, on a $v_n=31\times {\mathrm{0,98}}^n$.

      ---

   3. En déduire que, pour tout entier naturel n, $u_n=31\times {\mathrm{0,98}}^n+10$.

      Comme pour tout entier naturel n, $v_n=u_n-10\iff u_n=v_n+10$ on en déduit que :

      pour tout entier naturel n, $u_n=31\times {\mathrm{0,98}}^n+10$

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4. 1. Calculer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.

      $0<\mathrm{0,98}<1$ donc $\underset{n\to +\infty }{\lim }{\mathrm{0,98}}^n=0$ d'où, $\underset{n\to +\infty }{\lim }31\times {\mathrm{0,98}}^n+10=10$.Soit $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=10$.

      ---

   2. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

      La suite $\left(u_n\right)$ converge vers 10 donc à partir d'un certain nombre d'années, le nombre de milliers de tonnes de CO₂ émis dans cette zone industrielle au cours de chaque année sera proche de 10 milliers de tonnes.

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5. À l'aide de l'algorithme ci-dessous, on se propose de déterminer l'année à partir de laquelle la zone industrielle aura réduit au moins de moitié ses émissions de CO₂, par rapport à l'année 2005.

   1. Recopier et compléter les lignes 3 et 4 de l'algorithme

      1	$U\leftarrow 41$
      2	$n\leftarrow 0$
      3	Tant que $U>\mathrm{20,5}$
      4	$U\leftarrow \mathrm{0,98}\times U+\mathrm{0,2}$
      5	$n\leftarrow n+1$
      6	Fin Tant que

   2. La valeur de n calculée à la fin de l'algorithme est 54. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

      Selon ce modèle, la zone industrielle aura réduit au moins de moitié ses émissions de CO₂, par rapport à l'année 2005 à partir de 2059.

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