Baccalauréat 2017 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Liban 2017

correction de l'exercice 2 : commun à tous les candidats

Les deux parties sont indépendantes

partie a : L'accord de Kyoto (1997)

Le principal gaz à effet de serre (GES) est le dioxyde de carbone, noté CO2.
En 2011, la France a émis 486 mégatonnes de GES en équivalent CO2 contre 559 mégatonnes en 1990.

  1. Dans l'accord de Kyoto, la France s'est engagée à réduire ses GES de 8 % entre 1990 et 2012.
    Peut-on dire qu'en 2011 la France respectait déjà cet engagement ? Justifier la réponse.

    4865590,869

    Entre 1990 et 2012 la France a réduit ses GES d'environ 13,1 %. Par conséquent, en 2011 la France respectait déjà l'engagement deb l'accord de Kyoto.


  2. Sachant que les émissions de 2011 ont marqué une baisse de 5,6 % par rapport à 2010, calculer le nombre de mégatonnes en équivalent CO2 émises par la France en 2010. Arrondir le résultat à 0,1.

    Soit x le nombre de mégatonnes en équivalent CO2 émises par la France en 2010. On a :x×1-5,6100=486x=4860,944514,8

    En 2010, la France a émis environ 514,8 mégatonnes de GES en équivalent CO2.


partie b : Étude des émissions de gaz à effet de serre d'une zone industrielle

Un plan de réduction des émissions de gaz à effet de serre (GES) a été mis en place dans une zone industrielle. On estime que, pour les entreprises déjà installées sur le site, les mesures de ce plan conduisent à une réduction des émissions de 2 % d'une année sur l'autre et que, chaque année, les implantations de nouvelles entreprises sur le site génèrent 200 tonnes de GES en équivalent CO2.
En 2005, cette zone industrielle a émis 41 milliers de tonnes de CO2 au total.
Pour tout entier naturel n, on note un le nombre de milliers de tonnes de CO2 émis dans cette zone industrielle au cours de l'année 2005+n.

  1. Déterminer u0 et u1.

    u0=41 et u1=41×1-2100+2001000=40,38

    Ainsi, u0=41 et u1=40,38.


  2. Montrer que, pour tout entier naturel n, on a : un+1=0,98×un+0,2.

    Le coefficient multiplicateur associé à une baisse de 2 % est égal à 0,98 et, les implantations de nouvelles entreprises sur le site génèrent 0,2 milliers tonnes de GES en équivalent CO2 donc :

    pour tout entier naturel n, on a : un+1=0,98×un+0,2.


  3. On considère la suite vn définie, pour tout entier naturel n, par vn=un-10.

    1. Montrer que la suite vn est géométrique de raison 0,98. Préciser son premier terme.

      Pour tout entier n, vn+1=un+1-10=0,98un+0,2-10=0,98un-9,8=0,98×un-10=0,98vn

      Ainsi, pour tout entier naturel n, vn+1=0,98vn donc vn est une suite géométrique de raison 0,98 dont le premier terme v0=41-10=31.


    2. Exprimer vn en fonction de n, pour tout entier naturel n.

      vn est une suite géométrique de raison 0,98 et de premier terme v0=31 donc pour tout entier naturel n, on a vn=31×0,98n.


    3. En déduire que, pour tout entier naturel n, un=31×0,98n+10.

      Comme pour tout entier naturel n, vn=un-10un=vn+10 on en déduit que :

      pour tout entier naturel n, un=31×0,98n+10


    1. Calculer la limite de la suite un.

      0<0,98<1 donc limn+0,98n=0 d'où, limn+31×0,98n+10=10.Soit limn+un=10.


    2. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

      La suite un converge vers 10 donc à partir d'un certain nombre d'années, le nombre de milliers de tonnes de CO2 émis dans cette zone industrielle au cours de chaque année sera proche de 10 milliers de tonnes.


  4. À l'aide de l'algorithme ci-dessous, on se propose de déterminer l'année à partir de laquelle la zone industrielle aura réduit au moins de moitié ses émissions de CO2, par rapport à l'année 2005.

    1. Recopier et compléter les lignes 7 et 9 de l'algorithme

      1Variables
      2U est du type nombre
      3n est du type nombre entier
      4Début Algorithme
      5 U prend la valeur 41
      6 n prend la valeur 0
      7 Tant que U>20,5 faire
      8   Début Tant que
      9U prend la valeur 0,98×U+0,2
      10n prend la valeur n+1
      11  Fin Tant que
      12Afficher n
      13Fin Algorithme
    2. L'algorithme affiche 54. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

      Selon ce modèle, la zone industrielle aura réduit au moins de moitié ses émissions de CO2, par rapport à l'année 2005 à partir de 2059.



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