sujet : Nouvelle Calédonie février 2018

correction de l'exercice 1 : commun à tous les candidats

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chacune des quatre questions, quatre réponses sont proposées ; une seule de ces réponses convient.
Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie sans justifier le choix effectué.

1. Un laboratoire désire tester l'efficacité d'un médicament Pour cela, il constitue un échantillon aléatoire de 500 malades auxquels on prescrit ce médicament. On constate que 325 sont guéris au bout d'un mois.
   Un intervalle de confiance au niveau 0,95 de la proportion de patients guéris au bout d'un mois est :

   La fréquence des patients guéris dans l'échantillon est :$$f={\displaystyle \frac{325}{500}}=\mathrm{0,65}$$

   Un intervalle de confiance de la proportion de patients guéris au niveau de confiance de 95 % est :$$I=\left[\mathrm{0,65}-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{500}}};\mathrm{0,65}+{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{500}}}\right]\approx \left[\mathrm{0,605};\mathrm{0,695}\right]$$

   a. $\left[\mathrm{0,305};\mathrm{0,395}\right]$

   b. $\left[\mathrm{0,32};\mathrm{0,33}\right]$

   c. $\left[\mathrm{0,605};\mathrm{0,695}\right]$

   d. $\left[\mathrm{0,648};\mathrm{0,652}\right]$

2. Dans le laboratoire précédent, le nombre minimal de patients à interroger pour obtenir un intervalle de confiance de longueur inférieure ou égale à 0,01 est :

   Un intervalle de confiance de la proportion inconnue p au niveau de confiance 0,95 est $\left[f-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{n}}};f+{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{n}}}\right]$ où f est la fréquence observée dans un échantillon de taille n.
   Au niveau de confiance 0,95, l'amplitude de l'intervalle de confiance est ${\displaystyle \frac{2}{\sqrt{n}}}$.

   La taille n de l'échantillon est solution de l'équation :$$\begin{array}{rcl}{\displaystyle \frac{2}{\sqrt{n}}}=\mathrm{0,01}& \iff & \sqrt{n}={\displaystyle \frac{2}{\mathrm{0,01}}}=200\\ & \iff & n={200}^2=40000\end{array}$$

   a. 200

   b. 40 000

   c. 4 000

   d. 1 000

3. On admet que la fonction f définie sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{\ln \left(x\right)}{x}}$ est dérivable sur cet intervalle. Si on note $f\prime$ sa fonction dérivée, alors pour tout réel x de l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$, on a :

   La fonction f est dérivable comme quotient de deux fonctions dérivables.
   $f={\displaystyle \frac{u}{v}}$ avec $v\ne 0$ d'où $f\prime ={\displaystyle \frac{u\prime v-uv\prime }{v^2}}$ avec pour tout réel x strictement positif, $\{\begin{array}{lcl}u\left(x\right)=\ln \left(x\right)& \text{d'où}& u\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{x}}\\ & \text{et}& \\ v\left(x\right)=x& \text{d'où}& v\prime \left(x\right)=1\end{array}$

   Soit pour tout réel x trictement positif, $$\begin{array}{ccccc}f\prime \left(x\right)& =& {\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{x}}\times x-\ln \left(x\right)}{x^2}}& =& {\displaystyle \frac{1-\ln \left(x\right)}{x^2}}\end{array}$$

   a. $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{x^2}}$

   b. $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{\ln \left(x\right)-1}{x^2}}$

   c. $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{1-\ln \left(x\right)}{x^2}}$

   d. $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{x}}$

4. Deux collègues communiquent régulièrement par vidéoconférence. On suppose que la durée d'une communication entre ces deux personnes, exprimée en minutes, suit la loi uniforme sur l'intervalle $\left[0;120\right]$.
   Sachant que la communication dure depuis 30 minutes, la probabilité que la durée de la communication ne dépasse pas 90 minutes est égale à :

   Soit D la variable aléatoire associée à la durée de la conversation. D suit la loi uniforme sur l'intervalle $\left[0;120\right]$ : $$\begin{array}{ccccccc}{P}_{D⩾30}\left(D⩽90\right)& =& {\displaystyle \frac{P\left(30⩽D⩽90\right)}{P\left(D⩾30\right)}}& =& {\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{90-30}{120}}}{{\displaystyle \frac{120-30}{120}}}}& =& {\displaystyle \frac{2}{3}}\end{array}$$

   a. ${\displaystyle \frac{1}{3}}$

   b. ${\displaystyle \frac{1}{2}}$

   c. ${\displaystyle \frac{2}{3}}$

   d. ${\displaystyle \frac{3}{4}}$

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