Baccalauréat 2017 MATHÉMATIQUES Série ES-L

sujet : Nouvelle Calédonie février 2018

correction de l'exercice 3 : commun à tous les candidats

On étudie les abonnements à un grand quotidien de 2011 à 2015. Le tableau suivant indique, pour chaque année de 2011 à 2015, le nombre d'abonnés.

Année20112012201320142015
Nombre d'abonnés620 214610 156575 038578 282555 239
Taux d'évolution annuel-1,62%-5,76%0,56 %-3,98%
Taux d'évolution par rapport à l'année 2011-1,62%-7,28%-6,76%-10,48%

partie a

  1. Retrouver par le calcul, le taux d'évolution annuel entre 2012 et 2013.

    Le taux d'évolution annuel entre 2012 et 2013 est :575038-610156610156×100-5,76

    En 2013, le nombre d'abonnés a diminué d'environ 5,76 % par rapport à 2012.


  2. Le taux d'évolution moyen annuel entre 2011 et 2015 est environ de -2,73%. Justifier.

    Soit t % le taux d'évolution moyen annuel entre 2011 et 2015 :(1+t100)4=5552396202141+t100=(555239620214)14t=[(555239620214)0,25-1]×100-2,73

    Ainsi, le taux d'évolution moyen annuel entre 2011 et 2015 est environ de -2,73%.


partie b

Afin d'étudier cette évolution, on suppose qu'à l'avenir, tous les ans, 10 % des abonnés ne renouvellent pas leur abonnement à ce quotidien mais que l'on compte 52 milliers de nouveaux abonnés.
En 2011, le nombre d'abonnés est égal, après arrondi, à 620 milliers.

On s'intéresse, pour tout entier naturel n, au nombre d'abonnés, en milliers, pour l'année (2011+n).
On note un le nombre d'abonnés en milliers pour l'année (2011+n).
On fixe donc u0=620.

  1. Déterminer le nombre d'abonnés en 2012 suivant ce modèle.

    Une estimation du nombre de milliers d'abonnés en 2012 est :620×(1-10100)+52=610

    Selon ce modèle, le nombre d'abonnés en 2012 est estimé à 610 milliers.


  2. Justifier que pour tout entier naturel n : un+1=0,9un+52.

    Tous les ans, 90 % des abonnés renouvellent leur abonnement auxquels il faut ajouter 52 milliers de nouveaux abonnés. Par conséquent, pour tout entier naturel n : un+1=0,9un+52.


  3. On définit la suite (vn), pour tout entier naturel n, par vn=un-520.

    1. Démontrer que la suite (vn) est une suite géométrique. Préciser sa raison et son premier terme v0.

      Pour tout entier n, vn+1=un+1-520=0,9un+52-520=0,9un-468=0,9×(un-520)=0,9vn

      Ainsi, pour tout entier naturel n, vn+1=0,9vn donc (vn) est une suite géométrique de raison 0,9 dont le premier terme v0=620-520=100.


    2. Exprimer vn en fonction de n.

      (vn) est une suite géométrique de raison 0,9 et de premier terme v0=100 donc pour tout entier naturel n, on a :vn=100×0,9n.


    3. En déduire que, pour tout entier naturel n, un=100×0,9n+520.

      Comme pour tout entier naturel n, vn=un-520un=vn+520 on en déduit que :

      pour tout entier naturel n, un=100×0,9n+520.


  4. Le quotidien est considéré en difficulté financière lorsque le nombre d'abonnés est inférieur à 540 milliers.

    1. Recopier et compléter l'algorithme suivant afin de déterminer l'année à partir de laquelle le quotidien sera en difficulté financière.

      U620
      N0

      Tant que U540
      U0,9×U+52
      NN+1
      Fin Tant que

    2. Résoudre l'inéquation un540.

      Pour tout entier naturel n, un540100×0,9n+520540100×0,9n200,9n0,2ln(0,9n)ln0,2 La fonction  ln est strictement croissanten×ln0,9ln0,2Pour tout réel a strictement positif et pour tout entier nlnan=nlnanln0,2ln0,915,3ln0,9<0

      L'ensemble des solutions de l'inéquation un540 sont les entiers n16.


    3. Déterminer à partir de quelle année le quotidien sera en difficulté financière. Indiquer la démarche.

      Le plus petit entier n solution de l'inéquation un540 est n=16. Par conséquent, selon ce modèle, c'est en 2027 que le quotidien sera en difficulté financière.



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