On étudie les abonnements à un grand quotidien de 2011 à 2015. Le tableau suivant indique, pour chaque année de 2011 à 2015, le nombre d'abonnés.
Année | 2011 | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 |
Nombre d'abonnés | 620 214 | 610 156 | 575 038 | 578 282 | 555 239 |
Taux d'évolution annuel | 0,56 % | ||||
Taux d'évolution par rapport à l'année 2011 |
Retrouver par le calcul, le taux d'évolution annuel entre 2012 et 2013.
Le taux d'évolution annuel entre 2012 et 2013 est :
En 2013, le nombre d'abonnés a diminué d'environ 5,76 % par rapport à 2012.
Le taux d'évolution moyen annuel entre 2011 et 2015 est environ de . Justifier.
Soit t % le taux d'évolution moyen annuel entre 2011 et 2015 :
Ainsi, le taux d'évolution moyen annuel entre 2011 et 2015 est environ de .
Afin d'étudier cette évolution, on suppose qu'à l'avenir, tous les ans, 10 % des abonnés ne renouvellent pas leur abonnement à ce quotidien mais que l'on compte 52 milliers de nouveaux abonnés.
En 2011, le nombre d'abonnés est égal, après arrondi, à 620 milliers.
On s'intéresse, pour tout entier naturel n, au nombre d'abonnés, en milliers, pour l'année .
On note le nombre d'abonnés en milliers pour l'année .
On fixe donc .
Déterminer le nombre d'abonnés en 2012 suivant ce modèle.
Une estimation du nombre de milliers d'abonnés en 2012 est :
Selon ce modèle, le nombre d'abonnés en 2012 est estimé à 610 milliers.
Justifier que pour tout entier naturel n : .
Tous les ans, 90 % des abonnés renouvellent leur abonnement auxquels il faut ajouter 52 milliers de nouveaux abonnés. Par conséquent, pour tout entier naturel n : .
On définit la suite , pour tout entier naturel n, par .
Démontrer que la suite est une suite géométrique. Préciser sa raison et son premier terme .
Pour tout entier n,
Ainsi, pour tout entier naturel n, donc est une suite géométrique de raison 0,9 dont le premier terme .
Exprimer en fonction de n.
est une suite géométrique de raison 0,9 et de premier terme donc pour tout entier naturel n, on a :.
En déduire que, pour tout entier naturel n, .
Comme pour tout entier naturel n, on en déduit que :
pour tout entier naturel n, .
Le quotidien est considéré en difficulté financière lorsque le nombre d'abonnés est inférieur à 540 milliers.
Recopier et compléter l'algorithme suivant afin de déterminer l'année à partir de laquelle le quotidien sera en difficulté financière.
Tant que
Fin Tant que
Résoudre l'inéquation .
Pour tout entier naturel n,
L'ensemble des solutions de l'inéquation sont les entiers .
Déterminer à partir de quelle année le quotidien sera en difficulté financière. Indiquer la démarche.
Le plus petit entier n solution de l'inéquation est . Par conséquent, selon ce modèle, c'est en 2027 que le quotidien sera en difficulté financière.
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