sujet : Nouvelle Calédonie février 2018

correction de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

partie a

1. Donner la valeur de $f\prime \left(-2\right)$.

   La tangente à la courbe ${𝒞}_f$ au point A d'abscisse $\left(-2\right)$ est parallèle à l'axe des abscisses donc $f\prime \left(-2\right)=0$

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2. Interpréter géométriquement $f\prime \left(0\right)$ et donner sa valeur.

   Le nombre dérivé $f\prime \left(0\right)$ est égal au coefficient directeur de la tangente à la courbe ${𝒞}_f$ au point $B\left(0;3\right)$ passant par le point de coordonnées $D\left(1;1\right)$, on en déduit que $$f\prime \left(0\right)={\displaystyle \frac{3-1}{0-1}}=-2$$

   Ainsi, $f\prime \left(0\right)=-2$

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3. La fonction f est-elle convexe sur $\left[-2;2\right]$ ?

   La courbe ${𝒞}_f$ est en dessous de sa tangente au point A d'abscisse $\left(-2\right)$ et au dessus de sa tangente au point B d'abscisse 0.

   La fonction f change de convexité dans l'intervalle $\left[-2;0\right]$.

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partie b

1. Étudier le signe de la dérivée de la fonction f.

   La dérivée de la fonction f est la fonction $f\prime$ définie sur l'intervalle $\left[-3;8\right]$ par $f\prime \left(x\right)=\left(-x-2\right){\mathrm{e}}^{-x}$.

   Pour tout réel x, ${\mathrm{e}}^{-x}>0$ donc $f\prime \left(x\right)$ est du même signe que $\left(-x-2\right)$. Or $$\begin{array}{rcl}-x-2⩽0& \iff & x⩾2\end{array}$$

   Nous pouvons établir le tableau du signe de $f\prime \left(x\right)$ :

   x	$-3$		$-2$		8
   $f\prime \left(x\right)$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−

2. Dresser le tableau de variation de la fonction f sur l'intervalle $\left[-3;8\right]$.

   Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée.

   x	$-3$		$-2$		8
   $f\prime \left(x\right)$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−
   $f\left(x\right)$	0		${\mathrm{e}}^2$		$11{\mathrm{e}}^{-8}$

3. 1. Montrer que l'équation $f\left(x\right)=3$ admet une unique solution α sur $\left[-3;-2\right]$.

      $f\left(-3\right)=0$ et $f\left(-2\right)={\mathrm{e}}^2$. Sur l'intervalle $\left[-3;-2\right]$, la fonction f est dérivable donc continue, strictement croissante et $f\left(-3\right)<3<f\left(-2\right)$ alors, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires :Si une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle $\left[a;b\right]$, alors pour tout réel k compris entre $f\left(a\right)$ et $f\left(b\right)$, l'équation $f\left(x\right)=k$ admet une solution unique α située dans l'intervalle $\left[a;b\right]$.

      l'équation $f\left(x\right)=3$ admet une unique solution α sur $\left[-3;-2\right]$.

      ---

   2. Donner une valeur approchée de α à 0,01 près.

      À l'aide de la calculatrice, on trouve $\alpha \approx -\mathrm{2,82}$.

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4. 1. Justifier que la fonction F définie sur l'intervalle $\left[-3;8\right]$ par $F\left(x\right)=\left(-x-4\right){\mathrm{e}}^{-x}$ est une primitive de f sur le même intervalle.

      F est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables : $F=uv$ d'où $F\prime =u\prime v+uv\prime$ avec pour tout réel x de l'intervalle $\left[-3;8\right]$ : $\{\begin{array}{lcl}u\left(x\right)=-x-4& \text{;}& u\prime \left(x\right)=-1\\ v\left(x\right)={\mathrm{e}}^{-x}& \text{;}& v\prime \left(x\right)=-{\mathrm{e}}^{-x}\end{array}$

      Soit pour tout réel x de l'intervalle $\left[-3;8\right]$, $$\begin{array}{rcl}F\prime \left(x\right)& =& -{\mathrm{e}}^{-x}-\left(-x-4\right){\mathrm{e}}^{-x}\\ & =& \left(x+3\right){\mathrm{e}}^{-x}\end{array}$$

      Ainsi, pour tout réel x de l'intervalle $\left[-3;8\right]$ on a $F\prime \left(x\right)=f\left(x\right)$ donc F est une primitive de f sur l'intervalle $\left[-3;8\right]$.

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   2. Calculer la valeur de l'intégrale ${\displaystyle {\int }_0^{3}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$.

      $$\begin{array}{rcl}{\displaystyle {\int }_0^{3}f\left(x\right)\mathrm{d}x}& =& F\left(3\right)-F\left(0\right)\\ & =& -7{\mathrm{e}}^{-3}-\left(-4\right)\\ & =& 4-7{\mathrm{e}}^{-3}\end{array}$$

      ${\displaystyle {\int }_0^{3}f\left(x\right)\mathrm{d}x}=4-7{\mathrm{e}}^{-3}$.

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