Baccalauréat 2017 MATHÉMATIQUES Série ES-L

sujet : Nouvelle Calédonie février 2018

Corrigé de l'exercice 2 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité ES

Cette étude porte sur l'utilisation principale des véhicules du parc automobile français.
Les réponses seront arrondies au dix-millième.

partie a

Les véhicules de la région parisienne représentent 16 % du parc automobile français en 2015.
22 % des véhicules de la région parisienne sont utilisés principalement pour le trajet entre le domicile et le travail, 34 % pour les loisirs.
En province, 49 % des véhicules sont utilisés principalement pour le trajet entre le domicile et le travail, 31 % pour les loisirs.

On choisit un véhicule au hasard dans le parc automobile français.
On note :

  • R l'évènement : « le véhicule provient de la région parisienne »,
  • R¯ l'évènement : « le véhicule provient de la province »,
  • T l'évènement : « le véhicule est utilisé principalement pour le trajet entre le domicile et le travail »,
  • L l'évènement : « le véhicule est utilisé principalement pour les loisirs »,
  • F l'évènement : « le véhicule est utilisé principalement pour d'autres fonctions que le travail ou les loisirs».

On rappelle que, si A et B sont deux évènements, p(A) désigne la probabilité de l'évènement A et pB(A) désigne la probabilité de l'évènement A sachant que l'évènement B est réalisé.

  1. Représenter la situation par un arbre de probabilité.

    • Les véhicules de la région parisienne représentent 16 % du parc automobile d'où p(R)=0,16 et p(R¯)=1-0,16=0,84.

    • 22 % des véhicules de la région parisienne sont utilisés principalement pour le trajet entre le domicile et le travail, 34 % pour les loisirs d'où pR(T)=0,22, pR(L)=0,34 et pR(F)=1-(0,22+0,34)=0,44.

    • En province, 49 % des véhicules sont utilisés principalement pour le trajet entre le domicile et le travail, 31 % pour les loisirs d'où pR¯(T)=0,49, pR¯(L)=0,31 et pR¯(F)=1-(0,49+0,31)=0,2.

    D'où l'arbre pondéré rendant compte de cette situation :

    Arbre pondéré : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  2. Montrer que la probabilité qu'un véhicule soit utilisé principalement pour le trajet entre le domicile et le travail est égale à 0,4468.

    D'après la formule des probabilités totales :A1,A2,,An  forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience aléatoire.
    Alors la probabilité d'un événement B est donnée par : p(B)=p(BA1)+p(BA2)++p(BAn)
    Dans le cas de deux évènements quelconques, A et B, relatifs à une même épreuve :p(B)=p(BA)+p(BA¯)
    p(T)=p(TR)+p(TR¯)

    Or p(TR)=pR(T)×p(R)Soitp(TR)=0,22×0,16=0,0352etp(TR¯)=pR¯(T)×p(R¯)Soitp(TR¯)=0,49×0,84=0,4116 D'où p(T)=0,0352+0,4116=0,4468

    La probabilité qu'un véhicule soit utilisé principalement pour le trajet entre le domicile et le travail est égale à 0,4468.


  3. Madame Dupont et Monsieur Durand ont une conversation sur l'utilisation de leur véhicule. Madame Dupont dit utiliser principalement sa voiture pour les loisirs, Monsieur Durand principalement pour le trajet entre le domicile et le travail.
    Qui de Madame Dupont ou de Monsieur Durand a la plus grande probabilité d'habiter la région parisienne ?

    • Probabilité pour Monsieur Durand d'habiter la région parisienne sachant qu'il utilise principalement sa voiture pour le trajet entre le domicile et le travail :pT(R)=p(RT)p(T)SoitpT(R)=0,03520,44680,0788

    • La probabilité conditionnelle pour Madame Dupont d'habiter la région parisienne sachant qu'elle utilise principalement sa voiture pour les loisirs est pL(R)=p(RL)p(L).

      D'après la formule des probabilités totales :p(L)=p(LR)+p(LR¯)

      Or p(LR)=pR(L)×p(R)Soitp(LR)=0,34×0,16=0,0544etp(LR¯)=pR¯(L)×p(R¯)Soitp(LR¯)=0,31×0,84=0,2604 D'où p(L)=0,0544+0,2604=0,3148

      Par conséquent, pL(R)=0,05440,31480,1728

    La probabilité pour Madame Dupont d'habiter la région parisienne est supérieure à celle de Monsieur Durand.


partie b

On sélectionne un échantillon aléatoire de 10 véhicules du parc automobile français. On note X la variable aléatoire qui compte, dans cet échantillon, le nombre de véhicules utilisés principalement pour le trajet entre le domicile et le travail.

  1. Préciser la loi de probabilité de X ainsi que ses paramètres.

    Le nombre de véhicules du parc automobile français est suffisamment grand pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à tirage avec remise.

    Ainsi, X suit la loi binomiale (10;0,4468) de paramètres n=10 et p=0,4468.


  2. Déterminer la probabilité qu'exactement deux véhicules soient utilisés principalement pour le trajet entre le domicile et le travail.

    p(X=2)=(102)×0,44682×(1-0,4468)80,0788

    Arrondie au dix-millième près, la probabilité que dans l'échantillon deux véhicules soient utilisés principalement pour le trajet entre le domicile et le travail est 0,0788.


  3. Déterminer la probabilité qu'au moins un véhicule soit utilisé principalement pour le trajet entre le domicile et le travail.

    p(X1)=1-p(X=0)=1-0,5532100,9973

    Arrondie au dix-millième près, la probabilité que dans l'échantillon au moins un véhicule soit utilisé principalement pour le trajet entre le domicile et le travail est 0,9973.


partie c

On s'intéresse à l'évolution du parc automobile de la région parisienne. On considère qu'en 2018 le nombre de milliers de véhicules nouvellement enregistrés en région parisienne suivra la loi normale de moyenne 50 et d'écart type 4.
On note Y la variable aléatoire donnant le nombre de milliers de véhicules nouvellement enregistrés en 2018 en région parisienne.

  1. Quelle est la probabilité que le nombre de véhicules nouvellement enregistrés en région parisienne en 2018 soit compris entre 42 000 et 58 000 ?

    À l'aide de la calculatrice, on a p(42Y58)0,9545.

    Arrondie au dix-millième près, la probabilité que le nombre de véhicules nouvellement enregistrés en région parisienne en 2018 soit compris entre 42 000 et 58 000 est 0,9545.


  2. Pour ne pas avoir de délais d'enregistrement trop longs, le nombre de dossiers doit être inférieur à 55 000. Quelle est la probabilité que les délais d'enregistrement ne soient pas trop longs en 2018 ?

    p(Y>55)=p(Y50)-p(50Y55)=0,5-p(50Y55)0,1056

    Arrondie au dix-millième près, la probabilité que les délais d'enregistrement ne soient pas trop longs en 2018 est 0,1056.



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