contrôle du 13 décembre 2005

Corrigé de l'exercice 1

1. Écrire $ax+b+{\displaystyle \frac{c}{4x-8}}$ sous la forme d'un seul quotient, de numérateur $4a{x}^2+\left(4b-8a\right)x-8b+c$

   Pour tout réel $x\ne 2$$$\begin{array}{llll}ax+b+{\displaystyle \frac{c}{4x-8}}& =& {\displaystyle \frac{\left(ax+b\right)\left(4x-8\right)}{4x-8}}+{\displaystyle \frac{c}{4x-8}}& \text{Réduction au même dénominateur.}\\ & =& {\displaystyle \frac{\left(ax+b\right)\left(4x-8\right)+c}{4x-8}}& \text{Somme.}\\ & =& {\displaystyle \frac{4a{x}^2-8ax+4bx-8b+c}{4x-8}}& \text{Développement du produit.}\\ & =& {\displaystyle \frac{4a{x}^2+\left(4b-8a\right)x-8b+c}{4x-8}}& \end{array}$$

   Ainsi pour tout réel $x\ne 2:ax+b+{\displaystyle \frac{c}{4x-8}}={\displaystyle \frac{4a{x}^2+\left(4b-8a\right)x-8b+c}{4x-8}}$

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2. En déduire que a, b et c sont solutions d'un système d'équations, le résoudre et conclure en indiquant la nouvelle écriture de $f\left(x\right)$ trouvée.

   Trouver trois nombres réels a, b et c tels que, pour tout $x\ne 2$ : $f\left(x\right)=ax+b+{\displaystyle \frac{c}{4x-8}}$, revient à trouver trois nombres réels a, b et c tels que, pour tout $x\ne 2$ : ${\displaystyle \frac{x^2-5}{4x-8}}={\displaystyle \frac{4a{x}^2+\left(4b-8a\right)x-8b+c}{4x-8}}$.

   Il suffit donc que pour tout $x\ne 2:x^2-5=4a{x}^2+\left(4b-8a\right)x-8b+c$

   D'où a, b et c sont solutions du système : $\{\begin{array}{rcl}4a& =& 1\\ 4b-8a& =& 0\\ -8b+c& =& -5\end{array}$

   Or $\{\begin{array}{rcl}4a& =& 1\\ 4b-8a& =& 0\\ -8b+c& =& -5\end{array}\iff \{\begin{array}{rcl}a& =& {\displaystyle \frac{1}{4}}\\ 4b-2& =& 0\\ -8b+c& =& -5\end{array}\iff \{\begin{array}{rcl}a& =& {\displaystyle \frac{1}{4}}\\ b& =& {\displaystyle \frac{1}{2}}\\ -4+c& =& -5\end{array}\iff \{\begin{array}{rcl}a& =& {\displaystyle \frac{1}{4}}\\ b& =& {\displaystyle \frac{1}{2}}\\ c& =& -1\end{array}$

   Ainsi pour tout réel $x\ne 2:f\left(x\right)={\displaystyle \frac{x}{4}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{4x-8}}$

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