contrôle du 13 décembre 2005

Corrigé de l'exercice 5

Écrire la fonction f comme composée d'une fonction u suivie d'une fonction v.

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1. f est définie sur $\left]2;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{x-2}}$.

   Pour calculer l'image d'un réel $x>2$ par la fonction f, on effectue les calculs de la façon suivante:

   • on calcule la différence $x-2$;

   • puis on prend l'inverse;

   On enchaîne donc, la fonction affine $u:x\to x-2$ suivie de la fonction inverse $v:x\to {\displaystyle \frac{1}{x}}$, ce que l'on peut traduire par le schéma suivant : $$x\stackrel{u}{\to }x-2\stackrel{v}{\to }{\displaystyle \frac{1}{x-2}}$$

   f étant définie sur $\left]2;+\infty \right[$, u doit être définie sur $\mathrm{I}=\left]2;+\infty \right[$, ce qui est le cas puisque l'ensemble de définition d'une fonction affine est $ℝ$.

   v n'est pas définie en 0, et pour tout réel x appartenant à $\mathrm{I}=\left]2;+\infty \right[,x-2>0$, donc $u\left(x\right)\in \left]0;+\infty \right[$;
   on peut donc  définir v sur $\left]0;+\infty \right[$.

   f est la composée d'une fonction u suivie d'une fonction v, (on note $f=v\circ u$) avec :

   • u définie sur $\left]2;+\infty \right[$ par $u\left(x\right)=x-2$
   • v définie sur $\left]0;+\infty \right[$ par $v\left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{x}}$

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2. f est définie sur $ℝ$ par $f\left(x\right)=2-3x^2$.

   Pour calculer l'image d'un réel x par la fonction f, on effectue les calculs de la façon suivante:

   • on calcule le carré ;

   • puis on multiplie par -3 et on ajoute 2;

   On enchaîne donc, la fonction carrée $u:x\to x^2$ suivie de la fonction affine $v:x\to 2-3x$, ce que l'on peut traduire par le schéma suivant : $$x\stackrel{u}{\to }{x}^2\stackrel{v}{\to }2-3x^2$$

   f étant définie sur $ℝ$, u doit être définie sur $ℝ$, ce qui est le cas de la fonction carrée.

   En outre l'ensemble de définition d'une fonction affine est $ℝ$.

   f est la composée d'une fonction u suivie d'une fonction v, (on note $f=v\circ u$) avec :

   • u définie sur $ℝ$ par $u\left(x\right)=x^2$
   • v définie sur $ℝ$ par $v\left(x\right)=2-3x$

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