contrôle du 20 novembre 2010

Corrigé de l'exercice 1

1. Combien de boules contient la caisse ?

   Chaque rangée contient 5 boules et chaque étage est constitué de 5 rangées. Il y 5 étages donc le nombre de boules est $$5^3=125$$

   La caisse contient 125 boules.

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2. Quel est le volume de la caisse qui contient exactement cet empilement de boules ?

   L'arête du cube est égale à 5 fois le diamètre d'une boule soit en cm : $$5\times 12=60$$

   Par conséquent, le volume du cube est : $${60}^3=\mathrm{216\; 000}$$

   Le volume du cube est de 216000 cm³

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3. Le pourcentage du volume la caisse occupé par les boules est-il inférieur 52 % ?
   Rappel : Volume d'une sphère de rayon r :$V={\displaystyle \frac{4}{3}}\times \pi \times r^3$

   Le volume occupé par les 125 boules est $$125\times {\displaystyle \frac{4}{3}}\times \pi \times 6^3=36000\pi$$

   La part du volume de la caisse occupé par les boules est donc $${\displaystyle \frac{36000\pi }{216000}}={\displaystyle \frac{\pi }{6}}\approx \mathrm{0,5236}$$

   Les boules occupent environ 52,36% du volume de la caisse.

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remarque :

Le pourcentage du volume la caisse cubique occupé par les boules, est indépendant du nombre de boules et du rayon des boules. En effet, notons n le nombre de boules de rayon r qu'il y a dans une rangée.

Le volume du cube est : ${\left(2\times n\times r\right)}^3=8n^3{r}^3$. Le volume occupé par les boules est : $n^3\times {\displaystyle \frac{4}{3}}\times \pi \times r^3$

La part du volume de la caisse occupé par les boules est donc $${\displaystyle \frac{n^3\times {\displaystyle \frac{4}{3}}\times \pi \times r^3}{8n^3{r}^3}}={\displaystyle \frac{\pi }{6}}$$

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