contrôle du 20 novembre 2010

Corrigé de l'exercice 5

Dans chacun des cas suivants, déterminer la fonction affine f puis donner son sens de variation :

1. $f\left(-2\right)=3$ et $f\left(3\right)=-1$

   La fonction affine, f est définie pour tout réel x par $f\left(x\right)=ax+b$ avec $$\begin{array}{ccc}a={\displaystyle \frac{f\left(3\right)-f\left(-2\right)}{3-\left(-2\right)}}& \text{Soit}& a={\displaystyle \frac{-1-3}{5}}=-{\displaystyle \frac{4}{5}}\end{array}$$

   Ainsi, f est la fonction définie pour tout réel x par $f\left(x\right)=-{\displaystyle \frac{4}{5}}x+b$. Or $f\left(3\right)=-1$ d'où $$-{\displaystyle \frac{4}{5}}\times 3+b=-1\iff b={\displaystyle \frac{7}{5}}$$

   f est la fonction définie pour tout réel x par $f\left(x\right)=-{\displaystyle \frac{4}{5}}x+{\displaystyle \frac{7}{5}}$. $-{\displaystyle \frac{4}{5}}<0$ donc f est strictement décroissante.

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2. La droite représentant la fonction f passe par les points de coordonnées $\left(-2;-1\right)$ et $\left(1;3\right)$.

   La droite représentant la fonction f passe par les points de coordonnées $\left(-2;-1\right)$ et $\left(1;3\right)$ donc $f\left(-2\right)=-1$ et $f\left(1\right)=3$.
   f est définie pour tout réel x par $f\left(x\right)=ax+b$ avec $$\begin{array}{ccc}a={\displaystyle \frac{f\left(1\right)-f\left(-2\right)}{1-\left(-2\right)}}& \text{Soit}& a={\displaystyle \frac{3+1}{3}}={\displaystyle \frac{4}{3}}\end{array}$$

   Ainsi, f est la fonction définie pour tout réel x par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{4}{3}}x+b$. Or $f\left(1\right)=3$ d'où $${\displaystyle \frac{4}{5}}\times 1+b=3\iff b={\displaystyle \frac{5}{3}}$$

   f est la fonction définie pour tout réel x par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{4}{3}}x+{\displaystyle \frac{5}{3}}$. ${\displaystyle \frac{4}{3}}>0$ donc f est strictement croissante.

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