contrôle du 20 novembre 2010

Corrigé de l'exercice 6

1. 1. Calculer les images des réels 130 et ${\displaystyle \frac{1}{3}}$.

      $g\left(130\right)={\displaystyle \frac{65}{4\times 130}}={\displaystyle \frac{1}{8}}$ et $g\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)={\displaystyle \frac{65}{4\times {\displaystyle \frac{1}{3}}}}={\displaystyle \frac{195}{4}}$

      L'image de 130 est égale à ${\displaystyle \frac{1}{8}}$ et ${\displaystyle \frac{1}{3}}$ a pour image ${\displaystyle \frac{195}{4}}$

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   2. Quels sont les antécédents éventuels par g de 0 et de 5 ?

      • $g\left(x\right)={\displaystyle \frac{65}{4x}}$ donc l'équation $g\left(x\right)=0$ n'a pas de solution

        0 n'a pas d'antécédent par la fonction g

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      • Les antécédents éventuels de 5 par la fonction g sont les réels $x>0$ solutions de l'équation $g\left(x\right)=5$. Soit pour tout réel $x>0$, $$\begin{array}{ccc}{\displaystyle \frac{65}{4x}}=5& \iff & {\displaystyle \frac{65}{4x}}-5=0\hfill \\ & \iff & {\displaystyle \frac{65-20x}{4x}}=0\hfill \\ & \iff & 65-20x=0\hfill \\ & \iff & x={\displaystyle \frac{65}{20}}={\displaystyle \frac{13}{4}}\hfill \end{array}$$

        L'antécédent de 5 par la fonction g est ${\displaystyle \frac{13}{4}}$

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2. Soit f la fonction définie pour tout réel x par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{5x}{13}}$.

   1. Tracer dans le repère précédent, la droite D représentative de la fonction f .

      La droite D représentative de la fonction f a pour équation $y={\displaystyle \frac{5x}{13}}$ passe par les points de coordonnées $\left(0;0\right)$ et $\left(\mathrm{7,8};3\right)$.

   2. Résoudre l'inéquation $f\left(x\right)⩽2$

      $$\begin{array}{ccccc}f\left(x\right)⩽2& \iff & {\displaystyle \frac{5x}{13}}⩽2& \iff & x⩽{\displaystyle \frac{26}{5}}\end{array}$$

      L'ensemble solution de l'inéquation $f\left(x\right)⩽2$ est $S=\left]0;{\displaystyle \frac{26}{5}}\right]$

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3. Résoudre dans l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$, l'équation $f\left(x\right)=g\left(x\right)$.

   Pour tout réel $x>0$, $$\begin{array}{ccccc}f\left(x\right)=g\left(x\right)& \iff & {\displaystyle \frac{65}{4x}}={\displaystyle \frac{5x}{13}}\hfill & \text{et}& x>0\\ & \iff & {\displaystyle \frac{65}{4x}}-{\displaystyle \frac{5x}{13}}=0\hfill & \text{et}& x>0\\ & \iff & {\displaystyle \frac{845-20x^2}{4x}}=0\hfill & \text{et}& x>0\\ & \iff & {\displaystyle \frac{5\left(169-4x^2\right)}{4x}}=0\hfill & \text{et}& x>0\\ & \iff & {\displaystyle \frac{5\left(13-2x\right)\left(13+2x\right)}{4x}}=0\hfill & \text{et}& x>0\\ & \iff & 13-2x=0\text{ ou }13+2x=0\hfill & \text{et}& x>0\\ & \text{Soit}& x={\displaystyle \frac{13}{2}}\text{ ou }x=-{\displaystyle \frac{13}{2}}\hfill & \text{et}& x>0\end{array}$$

   Ainsi, l'équation $f\left(x\right)=g\left(x\right)$ admet une seule solution $x={\displaystyle \frac{13}{2}}$

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4. À l'occasion d'une kermesse, le responsable souhaite organiser une tombola pour laquelle chaque billet donne droit à un lot.
   L'organisateur estime que pour un prix de vente de x euros du billet :

   • le nombre de centaines de lots qu'il peut offrir est modélisé par la fonction f ;
   • le nombre de centaines de personnes susceptibles d'acheter un billet est modélisé par la fonction g.

   1. Selon cette estimation, pour que chaque billet donne droit à un lot, quel devrait être le prix de vente d'un billet ?

      Le prix x du billet est solution de l'équation $f\left(x\right)=g\left(x\right)$ soit d'après la question précédente $x=\mathrm{6,5}$

      Pour que chaque billet donne droit à un lot, le prix de vente d'un billet devrait être de 6,5 €.

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   2. Quel est alors le montant en euros de la recette que l'organisateur peut espérer ?

      $$f\left(\mathrm{6,5}\right)={\displaystyle \frac{5\times \mathrm{6,5}}{13}}=\mathrm{2,5}$$

      Avec un prix du billet de 6,5 €, le nombre de centaines de billets vendus est 2,5. La recette est donc : $$\mathrm{6,5}\times 250=1625$$

      Avec un prix de vente du billet de 6,5 €, l'organisateur peut espérer une recette de 1625 €

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