contrôle du 23 janvier 2018

exercice 1

Le graphe Γ ci-dessous, modélise le plan d'un parc de loisirs. Les arêtes du graphe représentent les allées du parc et les sommets les attractions.

1. Donner l'ordre du graphe puis le degré de chacun des sommets.

2. On range les sommets par ordre alphabétique. Compléter la matrice d'adjacence M associée au graphe : $M=\left(\begin{array}{cccccccc}0& 1& 0& 0& 1& 0& 1& 1\\ 1& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 1& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0& 1& 1& 0& 1\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 1& 0& 0& 0& 1& 1& 0& 1\\ 1& 0& 0& 1& 0& 0& 1& 0\end{array}\right)$.

3. On donne les matrices $M^2=\left(\begin{array}{cccccccc}4& 0& 1& 2& 1& 2& 2& 1\\ 0& 2& 0& 1& 1& 0& 1& 1\\ 1& 0& 2& 0& 1& 1& 0& 1\\ 2& 1& 0& 4& 1& 1& 3& 0\\ 1& 1& 1& 1& 4& 2& 2& 3\\ 2& 0& 1& 1& 2& 3& 1& 2\\ 2& 1& 0& 3& 2& 1& 4& 1\\ 1& 1& 1& 0& 3& 2& 1& 3\end{array}\right)$ et $M^3=\left(\begin{array}{rrrrrrrr}4& 5& 2& 5& 10& 5& 8& 8\\ 5& 0& 3& 2& 2& \cdots & 2& 2\\ 2& 3& 0& 5& 2& 1& 4& 1\\ 5& 2& 5& 2& 10& 8& 4& 9\\ 10& 2& 2& 10& 6& 7& 10& 4\\ 5& 3& 1& 8& 7& 4& 9& 4\\ 8& 2& 4& 4& 10& 9& 6& 9\\ 8& 2& 1& 9& 4& 4& 9& 2\end{array}\right)$

   1. En détaillant le calcul, déterminer le coefficient de la deuxième ligne et sixième colonne de la matrice $M^3$.

   2. Donner, en justifiant, le nombre de chaînes de longueur 3 reliant B à F. Les citer toutes.

4. Déterminer en justifiant si ce graphe est :

   1. complet ;

   2. connexe.

5. En justifiant la réponse, dire si ce graphe admet une chaîne eulérienne. Si oui, donner une telle chaîne.

6. Le responsable du parc souhaite réorganiser le nettoyage des allées, par un circuit commençant et finissant par le sommet A et qui passe par toutes les allées une et une seule fois.
   Quel est le nombre minimal d'allées qu'il faudrait ajouter pour obtenir un tel circuit ? Préciser les extrémités.

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exercice 2

partie a

Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie par $u_0=\mathrm{25 000}$ et pour tout entier naturel n, $u_{n+1}=\mathrm{0,96}{u}_n+800$.

1. On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel n par : $v_n=u_n-\mathrm{20 000}$.

   1. Démontrer que $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.

   2. En déduire que pour tout entier naturel n, $u_n=\mathrm{5 000}\times {\mathrm{0,96}}^n+\mathrm{20 000}$.

2. Étudier le sens de variation de la suite $\left(u_n\right)$.

partie b

Un site internet propose sur inscription un service de jeux en ligne. Le 1^er janvier 2018 il y avait 25 000 membres inscrits.
L'évolution hebdomadaire du nombre de membres est modélisée par la suite $\left(u_n\right)$ où $u_n$ est une estimation du nombre de membres inscrits au bout de n semaines.
Le responsable du site, souhaite déterminer au bout de combien de semaines le nombre de membres inscrits sera inférieur à 20 000.

1. Voici deux propositions d'algorithmes :

   $U\leftarrow \mathrm{25 000}$ $N\leftarrow 0$		$U\leftarrow \mathrm{25 000}$ $N\leftarrow 0$
   Tant que $U⩾\mathrm{22 000}$ $U\leftarrow \mathrm{0,96}\times U+800$ $N\leftarrow N+1$ Fin Tant que		Tant que $U<\mathrm{22 000}$ $U\leftarrow \mathrm{0,96}\times U+800$ $N\leftarrow N+1$ Fin Tant que
   Algorithme 1		Algorithme 2

   Un seul de ces algorithmes permet de calculer le plus petit entier naturel n tel que $u_n<\mathrm{22 000}$.
   Préciser lequel en justifiant pourquoi l'autre algorithme ne le permet pas.

2. 1. Résoudre dans l'ensemble des entiers naturels l'inéquation : $\mathrm{5 000}\times {\mathrm{0,96}}^n+\mathrm{20 000}<\mathrm{22 000}$.

   2. En déduire la valeur de la variable N à la fin de l'exécution de l'algorithme choisi à la question précédente et interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice.

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exercice 3

Soit f une fonction définie sur l'intervalle $\left[0;6\right]$ par $f\left(x\right)=2{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,5}x}-{\displaystyle \frac{\mathrm{e}}{2}}x$.
On admet que la fonction f est deux fois dérivable. On note $f\prime$ sa dérivée et $f″$ sa dérivée seconde.

1. Calculer $f\prime \left(x\right)$.

2. 1. Montrer que l'équation $f\prime \left(x\right)=0$ admet pour unique solution le nombre $a=2\left(1-\ln 2\right)$.

   2. Étudier le signe de $f\prime \left(x\right)$ sur l'intervalle $\left[0;6\right]$.

   3. En déduire le tableau complet des variations de la fonction f sur l'intervalle $\left[0;6\right]$.
      On précisera les valeurs exactes de $f\left(0\right)$, $f\left(a\right)$ et $f\left(6\right)$.

3. 1. Montrer que dans l'intervalle $\left[0;6\right]$, l'équation $f\left(x\right)=12$ admet une unique solution α.

   2. À l'aide de la calculatrice, donner la valeur arrondie à ${10}^{-2}$ près de la solution α.

4. Déterminer une équation de la tangente 𝒟 à la courbe ${𝒞}_f$ représentative de la fonction f au point A d'abscisse 2.

5. Quelle est la position relative de la courbe ${𝒞}_f$ par rapport à sa tangente 𝒟 ?

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