contrôle du 21 novembre 2017

exercice 1

1. Résoudre dans $ℝ$ l'équation : ${\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^{x^2-3}}{{\mathrm{e}}^{3x+1}}}={\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^x}{{\mathrm{e}}^{2x^2}}}$.

2. Résoudre dans $ℝ$ l'inéquation : ${\mathrm{e}}^{3x-2}\times {\mathrm{e}}^{1-5x}⩽1$.

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exercice 2

Dans chacun des cas suivants, calculer la dérivée de la fonction f.

1. f est définie sur $ℝ$ par $f\left(x\right)=\left(x^2-4x+5\right){\mathrm{e}}^x$.

2. f est définie sur $ℝ$ par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{1-2x}{{\mathrm{e}}^x}}$.

3. f est définie sur $ℝ$ par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{2-2{\mathrm{e}}^x}{{\mathrm{e}}^x+1}}$.

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exercice 3

partie a

On considère les matrices $M=\left(\begin{array}{ccc}2& 2& 1\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$ et $N=\left(\begin{array}{rrr}{\displaystyle \frac{1}{2}}& -1& x\\ 0& 1& -1\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$

1. Effectuer le produit $M\times N$ des deux matrices.

2. Calculer la valeur du réel x pour que la matrice N soit égale à l'inverse de la matrice M.

partie b

Soit f la fonction définie pour tout réel x par $f\left(x\right)=\left(a{x}^2+bx+c\right){\mathrm{e}}^x$.

• La courbe 𝒞 représentative de la fonction f admet le point A d'abscisse 0 comme point d'inflexion et la tangente au point A à la courbe 𝒞 a pour équation $y=3x+8$.
• Un logiciel de calcul formel donne les résultats ci-dessous :

  1	$f\left(x\right):=\left(a*x˄2+b*x+c\right)*\mathrm{e}˄x$
  	$\to f\left(x\right)=\left(a{x}^2+bx+c\right){\mathrm{e}}^x$
  2	$f\prime \left(x\right):=$ Dériver $\left[f\left(x\right)\right]$
  	$\to f\prime \left(x\right)=\left(a{x}^2+\left(2a+b\right)x+b+c\right){\mathrm{e}}^x$
  3	$f″\left(x\right):=$ Dériver $\left[f\prime \left(x\right)\right]$
  	$\to f″\left(x\right)=\left(a{x}^2+\left(4a+b\right)x+2a+2b+c\right){\mathrm{e}}^x$

1. Justifier que les réels a, b et c sont solutions du système : $\{\begin{array}{l}2a+2b+c=0\\ b+c=3\\ c=8\end{array}$.

2. Donner l'expression de $f\left(x\right)$.

3. 1. Calculer la valeur exacte de $f\left(2\right)$.

   2. La tangente à la courbe 𝒞 au point B d'abscisse 2 passe-t-elle par l'origine du repère ?

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exercice 4

Soit f la fonction définie pour tout réel x par $f\left(x\right)=\left(2-x\right){\mathrm{e}}^x$.
Sa courbe représentative notée ${𝒞}_f$ est tracée ci-dessous dans le plan muni d'un repère orthonormé.

1. 1. On note $f\prime$ la fonction dérivée de la fonction f.
      Montrer que pour tout nombre réel x, on a : $f\prime \left(x\right)=\left(1-x\right){\mathrm{e}}^x$.

   2. Étudier les variations de la fonction f.

2. Montrer que sur l'intervalle $\left[1;2\right]$, l'équation $f\left(x\right)=2$ admet une solution unique α .
   À l'aide de la calculatrice, déterminer la valeur arrondie à ${10}^{-2}$ près de α.

3. Déterminer une équation de la tangente 𝒟 à la courbe ${𝒞}_f$ au point A d'abscisse 0.
   Tracer la droite 𝒟 dans le repère précédent.

4. 1. On note $f″$ la dérivée seconde de la fonction f. Calculer $f″\left(x\right)$.

   2. Étudier la convexité de la fonction f.

   3. La courbe représentative de la fonction f a-t-elle un point d'inflexion ? Si oui, donner ses coordonnées.

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