contrôles en terminale ES

contrôle du 26 septembre 2017

thèmes abordés

  • Suite arithmético-géométrique.
  • Étude d'une fonction, dérivée, variation.

exercice 1

partie a

On considère la suite un définie par u0=1760 et pour tout entier naturel n, un+1=0,65×un+861.

  1. Soit vn la suite définie pour tout entier naturel n par vn=un-2460.

    1. Démontrer que la suite vn est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.

    2. Exprimer vn en fonction de n.
      En déduire que, pour tout nombre entier naturel n, un=2460-700×0,65n.

  2. Étudier le sens de variation de la suite un.

  3. Déterminer la limite de la suite un.

partie b

Une étude réalisée sur le nombre d'emplacements de camping d'une région touristique a permis d'établir que la demande d'emplacements peut être modélisée par la suite unun désigne le nombre d'emplacements l'année 2017+n.

  1. Un réaménagement de l'offre d'emplacements de camping sera nécessaire dès que la demande dépassera 2400 emplacements.
    On considère l'algorithme suivant :

    U1760
    N0

    Tant que U2400
    NN+1
    U0,65×U+861
    Fin Tant que

    1. Recopier et compléter autant que nécessaire les colonnes du tableau suivant en arrondissant les résultats à l'unité.

      Valeur de N01
      Valeur de U1760
      Condition U2400Vraie
    2. Donner la valeur affectée à la variable N à la fin de l'exécution de cet algorithme et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

  2. Selon ce modèle, est-il possible d'envisager une demande supérieure à 2500 emplacements ?


exercice 2

Une entreprise fabrique et commercialise un certain produit. Sa capacité de production mensuelle est inférieure à 10 milliers d'articles.
Soit x le nombre de milliers d'articles fabriqués chaque mois ; le coût de production exprimé en milliers d'euros est modélisé par la fonction C définie pour tout x élément de l'intervalle 010 par Cx=x3+12x2+21x+320 La courbe représentative de la fonction C, notée 𝒞T, est donnée ci-dessous.

Courbe représentative de la fonction C : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

partie a

  1. Le coût marginal de fabrication pour une production de x milliers d'articles est donné par CxC est la dérivée de la fonction C.
    Calculer C4 et C6.

  2. Justifier que la fonction C est strictement croissante sur 010.

partie b

Chaque article est vendu 273 euros, la recette mensuelle exprimée en milliers d'euros est donnée par Rx=273x.

    1. Tracer sur le graphique joint en annexe, la courbe 𝒟 représentative de la fonction R.

    2. Par lecture graphique, déterminer la production x0 pour laquelle le bénéfice est maximal.

  1. Le bénéfice mensuel exprimé en milliers d'euros est modélisé par la fonction B définie sur l'intervalle 010 par Bx=Rx-Cx.

    1. Calculer le montant en euros, du bénéfice si l'entreprise fabrique et vend 6 000 articles un mois donné.

    2. On note B la dérivée de la fonction B.
      Montrer que pour tout réel x appartenant à l'intervalle 010 on a Bx=-3x2-24x+252.

    3. Dresser le tableau de variation de la fonction B sur l'intervalle 010.

    4. En déduire le nombre d'articles qu'il faut fabriquer et vendre chaque mois pour obtenir un bénéfice maximal.
      Quel est le montant en euro, de ce bénéfice maximal ?

partie c

On note fx le coût moyen de production exprimé en euros, par article fabriqué. La fonction f est définie sur l'intervalle 010 par fx=x3+12x2+21x+320x.
On admet que la fonction f est dérivable sur l'intervalle 010 et on appelle f sa fonction dérivée.

  1. Calculer fx, et vérifier que fx=x-42x2+20x+80x2 pour tout réel x de l'intervalle 010.

  2. Étudier les variations de la fonction f sur 010.

  3. En dessous de quel prix de vente unitaire, l'entreprise est-elle sûre de ne faire aucun bénéfice ?



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