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contrôles en terminale ES-L

contrôle du 1er février 2018

thèmes abordés

  • Suites
  • Fonction logarithme

exercice 1

Cet exercice est un QCM (questionnaire à choix multiples). Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponses est exacte. Recopier le numéro de la question et la réponse exacte. Aucune justification n'est demandée. Une réponse exacte rapporte 1 point, une réponse fausse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point. Une réponse multiple ne rapporte aucun point.

  1. La solution exacte de l'équation 13x=23 est :

    a. 0,369

    b. ln2

    c. 1-ln2ln3

    d. 3ln32

  2. La solution exacte de l'équation lnx2=2 est :

    a. 2e2

    b. e

    c. e22

    d. e12

  3. L'ensemble des solutions de l'inéquation e2-x×e3x-12 est :

    a. S=ln22-1+

    b. S=ln22+

    c. S=1-ln22+

    d. S=ln2-12+

  4. Soit f la fonction définie sur 0+ par fx=xlnx-x. On note f sa fonction dérivée. On a alors :

    a. fx=lnx-1

    b. fx=lnx

    c. fx=1x-1

    d. fx=lnxx-1

  5. Soit f la fonction définie pour tout réel x par fx=2e0,5x-e2x. La tangente à la courbe 𝒞f représentative de la fonction f au point A d'abscisse 1 a pour équation :

    a. y=e2

    b. y=e2-x

    c. y=e2x-2

    d. y=e2x


exercice 2

partie a

Soit un la suite définie par u0=8 500 et pour tout entier naturel n, un+1=1,02un-250.

  1. On considère la suite vn définie pour tout entier naturel n par : vn=un-12 500.

    1. Montrer que la suite vn est une suite géométrique de raison q=1,02 et préciser le premier terme.

    2. Exprimer vn en fonction de n.

    3. Justifier que pour tout entier naturel n, un=12 500-4 000×1,02n.

  2. Étudier le sens de variation de la suite un.

partie b

Un site internet propose sur inscription un service de jeux en ligne. Le 1er janvier 2018 il y avait 8 500 membres inscrits.
L'évolution mensuelle du nombre de membres est modélisée par la suite unun est une estimation du nombre de membres inscrits au bout de n mois.
La responsable du service marketing, a prévu de lancer une campagne de publicité dès que le nombre de membres inscrits sera inférieur à 7 500.

  1. Voici deux propositions d'algorithmes :

    • U8 500
    • N0
    • U8 500
    • N0

    Tant que U<7 500

    • U1,02×U-250
    • NN+1

    Fin Tant que

    Tant que U7 500

    • U1,02×U-250
    • NN+1

    Fin Tant que

    Algorithme 1Algorithme 2

    Un seul de ces algorithmes permet de calculer le plus petit entier naturel n tel que un<7 500.
    Préciser lequel en justifiant pourquoi l'autre algorithme ne le permet pas.

    1. Résoudre dans l'ensemble des entiers naturels l'inéquation : 12 500-4 000×1,02n<7 500.

    2. En déduire la valeur de la variable N à la fin de l'exécution de l'algorithme choisi à la question précédente et interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice.


exercice 3

Soit f une fonction définie sur l'intervalle 08 par fx=2lnx+x2-5x.
On admet que la fonction f est deux fois dérivable. On note f sa dérivée et f sa dérivée seconde.

  1. Montrer que pour tout réel x de l'intervalle 08 on a : fx=2x2-5x+2x.

    1. Étudier le signe de fx sur l'intervalle 08.

    2. En déduire le tableau complet des variations de la fonction f sur l'intervalle 08.

    1. Montrer que dans l'intervalle 08, l'équation fx=0 admet une unique solution α.

    2. À l'aide de la calculatrice, donner la valeur arrondie à 10-2 près de la solution α.

  2. Déterminer une équation de la tangente 𝒟 à la courbe 𝒞f représentative de la fonction f au point A d'abscisse 1.

  3. Étudier les positions relatives de la courbe 𝒞f par rapport à sa tangente 𝒟 ?



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